ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова

Главной особенностью новой специализации является сочетание сильной математической подготовки с уклоном в современные курсы теоретической физики, обучение студентов физическому взгляду на задачи и необходимому для понимания языка физических теорий математическому аппарату. 

Лекции по дифференциальной геометрии и топологии

Автор программы курса: Тужилин Алексей Августинович

План курса

  1. Топологические многообразия, многообразия с краем, подмногообразия, операции над многообразиями: переход к открытому подмножеству, декартово произведение, несвязная сумма многообразий, приклеивание ручки и вклеивание листа Мёбиуса в двумерные многообразия, классификация компактных двумерных многообразий (напоминание).
  2. Гладкие многообразия, гладкие подмногообразия, общее определение поверхностей, три способа задания поверхностей (напоминание), примеры: матричные группы, проективные пространства, грассмановы многообразия, группы Ли (матричные группы как примеры групп Ли).
  3. Гладкие отображения гладких многообразий, диффеоморфизм, примеры диффеоморфных многообразий.
  4. Три определения касательного вектора, касательное пространство, канонический базис по отношению к данным координатам, дифференциал гладкого отображения, регулярные и особые точки, погружения, вложения и субмерсии, вложение гладких многообразий в арифметическое пространство, теорема Уитни, теорема Сарда.
  5. Ориентируемые и неориентируемые многообразия, примеры.
  6. Конструкции гладких многообразий: открытое множество, декартово произведение, касательное расслоение, кокасательное расслоение.
  7. Векторное расслоение: подрасслоение, сопряженное расслоение, морфизмы, изоморфизмы, обратный образ, сечения, универсальное расслоение, классификационная теорема, расслоение тензоров типа (p,q), подрасслоения кососимметричных и симметричных тензоров.
  8. Главные расслоения: тривиализация, расслоение Хопфа, расслоение реперов, расслоение ортонормированных реперов, векторные расслоения и главные расслоения, редукция главных расслоений.
  9. Тензорные поля на гладких многообразиях: векторное поле, риманова и псевдориманова метрика, дифференциальная форма, геометрия Лобачевского.
  10. Разбиение единицы, склеивание локальных тензорных полей в глобальные, существование римановой метрики.
  11. Дифференциальные формы: внешнее дифференцирование и интегрирование, теорема Стокса, точные и замкнутые формы, перенесение форм назад гладкими отображениями, когомологии де Рама, гладкая гомотопия и гладкая гомотопическая эквивалентность, гомотопическая инвариантность когомологий, когомологическая последовательность Майера-Вьеториса, примеры вычисления когомологий.
  12. Аффинная связность и ковариантное дифференцирование, кручение и тензор Римана, риманова связность, свойства тензора Римана, общее определение параллельного переноса и геодезических.
  13. Степень отображения, гомотопическая инвариантность степени, связь интегралов от формы и ее прообраза со степенью отображения, индекс векторного поля, теорема об индексе, теорема Брауэра о неподвижной точке, теорема о «причесывании ежа».

2020-2021


весенний


обязательный


2 курс

закрыть

Форма обратной связи