ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова

Главной особенностью новой специализации является сочетание сильной математической подготовки с уклоном в современные курсы теоретической физики, обучение студентов физическому взгляду на задачи и необходимому для понимания языка физических теорий математическому аппарату. 

СПИСОК КУРСОВ

Лекции по суперматематике

Автор программы курса: Худавердян Оганес Мкртычевич

Преподаватель: Худавердян Оганес Мкртычевич

Аннотация

Для регистрации на факультатив, пожалуйста, зарегистрируйтесь в форме.

План курса

1. Определение супермногообразия.
Супермногообразие. Локальные координаты, преобразования координат. Дифференцирование функций. $p|q$-мерное суперпространство $\R^{p|q}$. Векторное расслоение и супермногообразие. Теорема о супермногообразиях и векторных расслоениях. Функтор обращения четности. Примеры супермногообразий, $\Pi Т^М$ и $\Pi T^*M$.

2. Интегрирoвание функций.
Гладкие функции на $\R^{p|q}$. Интеграл, как функционал, обращающийся в нуль на производных. Интеграл Березина. Интеграл от гладкой функции по $\R^{p|q}$. Якобиан замены переменных при интегрировании и березиниан. О некоторых проблемах стандартного определения березиниана. Когомологическое определение березиниана.

3. Интегрирование по поверхностям.
Классическая теория интегрирования по поверхностям в многообразии. Дифференциальные формы как функции на $\Pi ТМ$. Поливекторные поля как функции на $\Pi T^*M$. Инвариантная форма объема на $ТМ$ и классическая теория интегрирования. Дифференциальные и интегральные формы в классической теории интегрирования по поверхностям (в обычной математике). Псевдодифференциальные и псевдоинтегральные формы как обьекты интегрирования по поверхностям в суперпространстве. Преобразование Баранова-Шварца. Лагранжианы и объекты интегрирования. Уравнения Эйлера-Лагранжа и теорема Стокса. Формы Воронова-Зорича.

4. Суперсимметрия.
Что такое суперсимметрия. Расширение группы Пуанкаре до супергруппы. Тезис: Суперсимметрия это корень квадратный из обычной симметрии.
Примеры: Корень квадратный из гармонического осциллятора. Проективное суперпространство $CP^{n-1\n-1}$ как редукция плоского суперпространства. (Супераналог механизма Фубини Штуди.)

5. Объемы.
Вычисление объемов суперпространств. Объемы пространства Штиффеля, объемы суперсфер. Теорема Березина-Воронова о занулении объема унитарной группы.

6. $Q$-многообразия и приложения супергеометрии. 
Дифференциальные формы, плотности и Лагранжианы. Инвариантные плотности и построение геометрических объектов в суперпространстве. Примеры. Геометрия формализма Баталина Вилковыского. Алгеброиды Ли и их обобщения.

 

Литература

  1. Ф.А. Березин, "Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными". 
  2. Д.А. Лейтес, "Введение в теорию супермногообразий".
  3. Ю.И.Манин, "Калибровочные поля и комплексная геометрия".
  4. T.Voronov, "Geometric Integration Theory on Supermanifolds".                            

 

2021-2022


весенний


факультативный


2 курс, 3 курс, 4 курс, 5 курс, 6 курс

закрыть

Форма обратной связи