ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

СПИСОК КУРСОВ

Лекции по суперматематике

Автор программы курса: Худавердян Оганес Мкртычевич

Преподаватель: Худавердян Оганес Мкртычевич

Аннотация

Суперматематика возникла в работах Ф.А.Березина  и его сотрудников. В качестве условной даты её рождения можно назвать 1975 год, год, когда вышла статья Березина и Лейтеса с определением супермногообразия. Изначальным импульсом в работах Березина было замеченное им поразительное сходство между теориями
 квантования  бозонных и фермионных полей, которое достигается, если рассматривать паралелльно функции от от обычных {\it коммутирующих} переменных и так называемые ``функции от {\it антикоммутирующих} переменных''. При этом наряду с обычным дифференцированием и интегрированием функций нужно ввести дифференцирование и интегрирование по антикоммутирующим переменным. Совместное (а не просто паралелльное) рассмотрение коммутирующих и антикоммутирующих переменных и есть ключевая идея суперматематики. Сейчас стало понятным, что такое расширение алгебры обычных функций является естественным и при этом единственно возможным обобщением понятия коммутативности (в отличие от действительно некоммутативных алгебр, рассматриваемых в ``некоммутативной геометрии'').

Формализм, в котором бозоны и фермионы равноправны, служит математическим фундаментом теории суперсимметрий. До сих пор суперсимметрия не получила экспериментального подтверждения. Несмотря на это, аппарат суперматематики стал частью мышления сегодняшнего физика-теоретика. Упомянем восходящую к Березину и Маринову картину, где классический фермион живёт в суперпространстве, а его квантование приводит к уравнению Дирака. Для современных приложений особенно важна так называемая BRST-симметрия, алгебраически выражаемая уравнением $Q^2=0$ (тогда как суперсимметрия выражается уравнениями вида $Q^2=H$). С точки зрения ``обычной'' математики важнейшее свойство суперматематики --- то, что она дает язык для унификации структур, которые без неё кажутся изолированными, и таким образом, обогащает интуицию. Например, понятие нечётной симплектической структуры позволяет понять скобку Схоутена поливекторных полей (антисимметрических тензоров) в обычной дифференциальной геометрии как аналог скобки Пуассона для функций на суперпространстве.

Необходимые базовые знания для прохождения курса: предполагается, что студенты владеют понятием многообразия и знанием базисных понятий геометрии, например, геометрического смысла детерминанта и дифференциальных форм.

Актуальное расписание занятий Вы можете найти здесь.

Видеозаписи лекций расположены здесь.

План курса

0. Вводная лекция. Язык точек и функций в математике.

1. Определение супермногообразия.

Супермногообразие. Локальные координаты, преобразования координат. Дифференцирование функций.

$p|q$-мерное суперпространство $\R^{p|q}$. Векторное расслоение и супермногообразие. Теорема о супермногообразиях и векторных расслоениях. Функтор обращения четности.

Примеры супермногообразий, $\Pi Т^М$ и $\Pi T^*M$

2. Интегрирoвание функций

Гладкие функции на $\R^{p|q}$. Интеграл, как функционал, обращающийся в нуль на производных. Интеграл Березина.

Интеграл от гладкой функции по $\R^{p|q}$.  Якобиан замены переменных при интегрировании и березиниан. О некоторых проблемах стандартного определения березиниана. Когомологическое определение березиниана.

3. Интегрирование по поверхностям.

Классическая теория интегрирования по поверхностям в многообразии.

Дифференциальные формы как функции на $\Pi ТМ$.

Поливекторные поля как функции на $\Pi T^*M$

Инвариантная форма объема на $ТМ$ и классическая теория интегрирования

Дифференциальные и интегральные формы в классической теории интегрирования по поверхностям (в обычной математике).

Псевдодифференциальные и псевдоинтегральные формы как обьекты интегрирования по поверхностям в суперпространстве. Преобразование Баранова-Шварца. Лагранжианы и объекты интегрирования. уравнения Эйлера-Лагранжа и теорема Стокса. Формы Воронова-Зорича.

4. Суперсимметрия.

Что такое суперсимметрия. Расширение группы Пуанкаре до супергруппы.

Тезис: Суперсимметрия это корень квадратный из обычной симметрии.

Примеры: Корень квадратный из гармонического осциллятора.

Проективное суперпространство $CP^{n-1\n-1}$  как редукция плоского суперпространства.  (Супераналог механизма Фубини Штуди.)

5. Объемы

Вычисление объемов суперпространств.

Объемы пространства Штиффеля.

Объемы суперсфер. Теорема Березина-Воронова о занулении объема унитарной группы.

6. $Q$-многообразия и приложения супергеометрии

 Дифференциальные формы, плотности и Лагранжианы.

Инвариантные плотности и построение геометрических объектов в суперпространстве. Примеры.

Геометрия формализма Баталина Вилковиского.

Алгеброиды Ли и их обобщения.

 

Литература

  1. Ф.А. Березин. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. Английское (расширенное издание) Introduction to superanalysis (translation edited by D.A.Leites)
  2.  Д.А. Лейтес. Введение в теорию супермногообразий
  3. Ю.И.Манин Калибровочные поля и комплексная геометрия.
  4. T.Voronov. Geometric Integration Theory on Supermanifolds. 2nd expanded edition. Cambridge Scientific Publ., 2014. (Vol. 3 in the series: Classic Reviews in Mathematics and Mathematical Physics.)

 Список некоторых полезных статей

  1. F. A. Berezin and M. S. Marinov. {\it Particle spin dynamics as the Grassmann  variant of classical mechanics.} Annals of Physics 104 (1977), 336--362.
  2. A.S.Schwarz Supergravity, complex geometry  and G-structures Comm.Math.Phys., V 87,(1982), pp. 37-63
  3. M.Alexandrov, M.Kontsevich, A.Schwarz and O.Zaboronsky. The geometry of master-equation and topological quantum field theory Int.J.Mod.Phys., 1405--1429, hep-th/9502010
  4.  O.M. Khudaverdian.Batalin-Vilkovisky Formalism and Odd Symplectic Geometry. In: Proceedings of International Workshop "Geometry and Integrable Systems", P.N.Pyatov and S.N.Solodukhin, eds.  Word Scientific Publishing Co., 1996, p. 144-181.(available in arxiv)
  5. H.M.Khudaverdian Semidensities on odd symplectic  supermanifold, Comm. Math. Phys., v. 247 (2004), pp. 353-390  arXiv:math.DG/0012256}
  6. Ф.Ф. Воронов, “Об объемах классических супермногообразий”,  Матем. сб., 207:11 (2016), 25–52 (Th. Th. Voronov, “On volumes of classical supermanifolds”,
  7. Th. Th. Voronov. Graded geometry, Q-manifolds, and microformal geometry. Fortschr. Phys. 67 (2019), 1910023 DOI: 10.1002/prop.201910023.
  8. Hovhannes Khudaverdian, Theodore Voronov. Thick morphisms, higher Koszul brackets, and L∞-algebroids. arXiv:1808.10049
  9. Karabegov A., Neretin Y., Voronov T. Felix Alexandrovich Berezin and his work.  In: Kielanowski P., Ali S., Odzijewicz A., Schlichenmaier M., Voronov T. (eds) Geometric Methods in Physics. Trends in Mathematics.Birkhäuser, Basel , 2013. arXiv:1202.3930. См. также приложение к работe.
  10. Ф.Ф. Воронов, “Квантование на супермногообразиях и аналитическое доказательство теоремы Атьи–Зингера об индексе”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж., 38 (1990), 3–118 (ссылка для скачивания: http://www.mathnet.ru/links/64852c21b84809c8832a6b4978dd576c/intd126.pdf).

2020-2021


весенний


спецкурс


2 курс