Дополнительные главы дифференциальной геометрии

Автор программы курса: Шарыгин Георгий Игоревич

Преподаватель: Шарыгин Георгий Игоревич

План курса

1. Распределения, интегрируемые распределения, слоения и теорема Фробениуса: примеры. Теорема Бонне — уточнения формулировок и доказательствa*. (2-4 часа)
2. Формула Гаусса-Бонне для двумерных поверхностей с краем. (2 часа)
3. Теорема Сарда. Примеры приложений: теорема Уитни о вложении в R^{2n+1}; существование функций Морса. Трансверсальность отображения вдоль подмногообразия. Понятие общего положения. (2-4 часа)
4. Степень отображения гладких многообразий*; связь с интегрированием. (2 часа)
5. Индекс особых точек векторного поля. Теорема Пуанкаре-Хопфа. Теорема Гаусса-Бонне для гиперповерхностей в R^n. (4-6 часов)
6. Риманов тензор и кривизна по двумерным направлениям. Пространства отрицательной секционной кривизны (теорема о расхождении геодезических). (2 часа)
7. Элементы теории групп Ли: теорема о том, что группа Ли гомотопна своей максимальной компактной подгруппе. (2-4 часа)
8. Геометрия со структурной группой: главные расслоения, замена структурной группы. Примеры: ориентируемость, Евклидова структура. (2 часа)
9. Связности и характеристические классы главных расслоений, конструкция Черна-Вейля. Спинорная структура*. Характеристические классы слоений*. (2-4 часа)
10. Геометрические структуры: джеты, «супер-геометрия». Интегрирование по Березину. (2-4 часа).

Итого: около 32 часов. Таким образом, курс должен уложиться в стандартную 1 пару в неделю из расчета, что в семестре будет 16 учебных недель. Однако, преподаватель оставляет за собой право слегка сократить количество прочитанного материала (особенно, в конце курса), если времени будет не хватать.

Регитсрация на курс

Литература

1. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства;
2. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли;
3. Хирш М. Дифференциальная топология;
4. Милнор Дж. Теория Морса;
5. Винтген П., Зуланке Р. Дифференциальная геометрия и расслоения.