Алгебра-1

Автор программы курса: Тимашёв Дмитрий Андреевич

Преподаватель: Пржиялковский Виктор Владимирович

Аннотация

Цель курса алгебры 1-го семестра — познакомить слушателей с базовыми понятиями алгебры (группы, кольца, поля, векторные пространства) и снабдить их основным инструментарием (матрицы, определители, подстановки, комплексные числа, вычеты, многочлены) для дальнейшей работы в алгебре и других дисциплинах, использующих алгебраические методы.

Необходимые базовые знания для прохождения курса.

Предполагается, что слушатели освоили школьную программу по математике в объёме, достаточном для поступления на механико-математический факультет.

План курса

Лекция 1. – Системы линейных алгебраических уравнений и матрицы. Элементарные преобразования, метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений, их совместимость и наличие ненулевого решения при условии, что число уравнений меньше числа неизвестных.

Лекции 2-3. – Вещественные векторные пространства, арифметическое пространство Rn. Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, основная лемма. Базис и ранг системы векторов, размерность векторного пространства, координаты вектора в базисе. Стандартный базис пространства Rn. Отождествление произвольного конечномерного пространства с Rn путём выбора базиса. Ранг матрицы, его свойства.

Лекция 4. – Критерии совместности (теорема Кронекера–Капелли) и определённости системы линейных уравнений в терминах рангов. Подпространства в векторном пространстве. Линейная оболочка системы векторов. Пространство решений однородной системы линейных уравнений, его размерность и базис (фундаментальная система решений). Линейное многообразие решений произвольной системы линейных уравнений, его связь с пространством решений ассоциированной однородной системы.

Лекция 5. – Линейные отображения векторных пространств и их матрицы. Операции над линейными отображениями и матрицами, их свойства. Матричная запись линейных отображений и систем линейных уравнений.

Лекция 6. – Ранг произведения матриц. Единичная матрица. Обратная матрица. Невырожденные матрицы, обратимость равносильна невырожденности. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Элементарные матрицы, разложение невырожденной матрицы в произведение элементарных.

Лекция 7. – Перестановки и подстановки, их количество. Умножение подстановок. Разложение подстановки в произведение независимых циклов и в произведение транспозиций. Чётность и знак перестановок и подстановок.

Лекция 8. – Определитель квадратной матрицы. Свойства определителя как функции строк и столбцов матрицы, его неизменность при транспонировании. Характеризация определителя как полилинейной кососимметрической функции строк (столбцов) матрицы. Вычисление определителя приведением к треугольному виду.

Лекция 9. – Матрица невырождена тогда и только тогда, когда её определитель не равен 0. Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Определитель произведения матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу.

Лекция 10. – Присоединённая матрица. Явная формула для обратной матрицы. Правило Крамера для решения квадратных систем линейных уравнений. Теорема о ранге матрицы, метод окаймляющих миноров для вычисления ранга матрицы.

Лекция 11. – Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля — определения, примеры, простейшие свойства. Перенос теории систем линейных уравнений, векторов, матриц и определителей с поля R на произвольное поле.

Лекция 12. – Сравнимость целых чисел, кольца вычетов. Делители нуля и обратимые элементы в кольце вычетов. Когда кольцо вычетов является полем? Характеристика поля. Малая теорема Ферма.

Лекции 13-14. – Комплексные числа: аксиоматическое определение, существование и единственность поля C с точностью до изоморфизма. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел, геометрическая интерпретация поля C (комплексная плоскость), операция сопряжения. Формула Муавра, извлечение корней из комплексных чисел. Группа корней из 1, первообразные корни.

Лекция 15. – Кольцо многочленов от одной переменной: аксиоматическое определение, существование и единственность с точностью до изоморфизма. Степень многочлена. Полиномиальные функции. Задача об интерполяции, интерполяционная формула Лагранжа. Формальное и функциональное равенство многочленов.

Лекция 16. – Деление с остатком в кольце многочленов. Теорема Безу. Корни многочленов, кратность корня. Число корней многочлена, с учётом их кратностей, не превосходит его степени. Формальная производная многочлена. Связь кратности корня со значениями высших производных. Формула Тейлора.

Лекция 17. – Делимость в целостных кольцах. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель. Евклидовы кольца, алгоритм Евклида, линейное выражение наибольшего общего делителя двух элементов евклидова кольца. Простые элементы, факториальные кольца. Факториальность евклидовых колец. Неприводимые многочлены, разложение многочлена на неприводимые множители.

Лекция 18. – Основная теорема алгебры комплексных чисел (любой многочлен положительной степени над полем C имеет комплексный корень). Разложение на неприводимые множители над полями С и R.

Лекция 19. – Задача приближённого вычисления действительных и комплексных корней многочлена. Теорема Декарта (правило знаков) для оценки числа положительных корней. Избавление от кратных корней.

Лекция 20. – Поле дробей целостного кольца. Поле рациональных дробей. Несократимые, правильные и простейшие дроби. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и простейших дробей.

Лекция 21. – Кольцо многочленов от нескольких переменной: аксиоматическое определение, индуктивное построение и единственность с точностью до изоморфизма. Полная степень многочлена, однородные многочлены. Лексикографический порядок на одночленах, его свойства. Старший член многочлена, лемма о старшем члене произведения. Факториальность кольца многочленов от многих переменных над полем и любым факториальным кольцом.

Лекции 22-23. – Симметрические многочлены. Теорема Виета. Основная теорема о симметрических многочленах. Дискриминант и результант.

Лекция 24. – Начала теории групп: порядок элемента группы, циклические группы. Смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа и её следствия. Теорема Эйлера о вычетах.

 

Литература

1.Винберг Э.Б. Курс алгебры, М., МЦНМО, 2017.

2.Кострикин  А.И. Введение в алгебру, ч. I: Основы алгебры, М., Физматлит, 1994.

3.Сборник задач по алгебре (под ред. А.И. Кострикина), М., МЦНМО, 2015.

 

Дополнительная информация