Геометрия и квазиклассические асимптотики
Авторы программы курса: Назайкинский Владимир Евгеньевич, Шафаревич Андрей Игоревич
Аннотация
Созданный В.П. Масловым канонический оператор – один из наиболее мощных инструментов построения глобальных квазиклассических асимптотик для линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений. В рамках данного курса планируется познакомить студентов с богатой геометрией, лежащей в основе канонического оператора (лагранжевы многообразия в фазовом пространстве, фокальные точки, каустики, индекс Маслова и т.д.) и с его современной конструкцией, позволяющей не только проводить теоретические исследования, но и эффективно анализировать решения конкретных задач с использованием средств реализации и графической визуализации аналитических и численных расчетов, предоставляемыми системами технических вычислений, такими как Wolfram Mathematica и MATLAB.
Необходимые базовые знания для освоения курса:
Предполагается, что слушатели побывали на первом и втором курсах мехмата и в результате прошли курсы математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также дифференциальной геометрии и топологии. Желательно знакомство с азами теории функций комплексного переменного.
Данные Zoom конференции:
План курса
Лекция 1 (вводная): Общие понятия. Что такое асимптотическое разложение? Регулярная теория возмущений. Пример: формулы теории возмущений для собственных значений линейного оператора в конечномерном пространстве. Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром при производных и их примеры. Откуда взялся малый параметр? Метод Эйлера для уравнений с постоянными коэффициентами. Понятие о сингулярной теории возмущений.
Одномерный случай
Лекция 2: Одномерное уравнение Шрёдингера: задача на собственные значения и ВКБ-анзац. Уравнение Гамильтона–Якоби и его решение. Уравнение переноса. Фокальные точки и недостаточность ВКБ-анзаца для построения глобального решения. Замкнутая кривая как геометрический объект, лежащий в основе асимптотического решения.
Лекция 3: Быстроосциллирующие функции. Метод стационарной фазы. Преобразование Фурье и его основные свойства. Формула обращения преобразования Фурье и ее доказательство методом стационарной фазы. Фронт осцилляций быстроосциллирующей функции. Пример: вычисление фронта осцилляций для ВКБ-анзаца.
Лекции 4–5: Индекс Маслова и условия квантования. Глобальное асимптотическое решение задачи на собственные значения для одномерного уравнения Шрёдингера и его фронт осцилляций. Канонический оператор Маслова. Случай разомкнутой кривой .
Лекция 6: Канонический оператор и специальные функции: (а) асимптотика функции Эйри при больших по модулю отрицательных значениях аргумента; (б) выражение функции, задаваемой каноническим оператором, в окрестности простой каустики (а иногда и глобальное) через функцию Эйри; (в) задача для гармонического осциллятора и асимптотика многочленов Эрмита с большими номерами.
Многомерный случай
Лекция 7: Симплектические многообразия. Гамильтоновы векторные поля и канонические преобразования. Стандартная симплектическая структура в и на кокасательном расслоении гладкого многообразия . Теорема Дарбу (без доказательства). Лагранжевы многообразия. Необходимое и достаточное условие инвариантности лагранжева многообразия относительно гамильтонова векторного поля.
Лекция 8: Лагранжевы многообразия в как естественное обобщение решений уравнения Гамильтона–Якоби. Вполне интегрируемые системы, лиувиллевы торы, переменные действие–угол.
Лекция 9: Фокальные точки и каустики. Локальное задание лагранжевых многообразий с помощью невырожденных фазовых функций (в частности – производящих функций). Конструкция таких функций с помощью «универсальной фазовой функции».
Лекция 10: Осциллирующие интегралы с невырожденной фазовой функцией и их фронты осцилляций. Осциллирующие интегралы, связанные с заданным лагранжевым многообразием, и их сравнение.
Лекция 11: Глобальная конструкция канонического оператора на лагранжевом многообразии с мерой. Класс когомологий формы , индекс Маслова, условия квантования. Явные формулы для канонического оператора.
Лекция 12: Псевдодифференциальные операторы. Действие псевдодифференциального оператора на канонический оператор («формула коммутации») и построение асимптотических решений уравнения и, как частный случай, .
Лекция 13: Примеры: асимптотические решения волнового уравнения и некоторых разностных уравнений. Асимптотические формулы для функций Бесселя и многочленов Лежандра.
Выражение канонического оператора через специальные функции
Лекции 14–15: Лагранжевы расслоения и лагранжевы эквивалентности. Приведение особенностей проектирования лагранжевых многообразий общего положения к нормальной форме. Соответствующее преобразование канонического оператора. Выражения для канонического оператора в окрестностях каустик типа складки и сборки и способы вычисления входящих в них замен переменных.
Лекция 16: Примеры: (а) каустики в волновом уравнении с переменной скоростью; (б) асимптотики интегралов типа Бесселя и асимптотические решения линеаризованной задачи о выходе волн цунами на берег.
Литература
- В.П. Маслов, М.В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976.
- М.В. Федорюк, Метод перевала, Наука, М., 1977.
- А.С. Мищенко, Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов, Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, Наука, М., 1978.
- В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики, Мир, М., 1981.
- Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956.
- В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, URSS, М., 2017.
- В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений. Том 1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов, Наука, М., 1982.
- В.И. Арнольд, “О характеристическом классе, входящем в условия квантования”, Функц. анализ и его прил., 1:1 (1967), 1–14.
- С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, А.И. Шафаревич, “Новые интегральные представления канонического оператора Маслова в особых картах”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:2 (2017), 53–96.
- С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, “Лагранжевы многообразия и эффективные формулы для коротковолновых асимптотик в окрестности точки возврата каустики”, Матем. заметки, 108:3 (2020), 334–359.
- С.Ю. Доброхотов, Д.С. Миненков, В.Е. Назайкинский, “Представления функций Бесселя с помощью канонического оператора Маслова”, ТМФ, 208:2 (2021), 196–217.
- S.Y. Dobrokhotov, V.E. Nazaikinskii, A.I. Shafarevich, Canonical Operator on Punctured Lagrangian Manifolds. Russ. J. Math. Phys. 28, 22–36 (2021).
Дополнительная информация
Отчетность по курсу: в течение семестра студентам будет предложено выполнить практическое задание по построению квазиклассической асимптотики решения конкретной задачи методом канонического оператора и его анализу и визуализации с помощью системы Wolfram Mathematica. Завершится курс экзаменом.
