ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова

Главной особенностью новой специализации является сочетание сильной математической подготовки с уклоном в современные курсы теоретической физики, обучение студентов физическому взгляду на задачи и необходимому для понимания языка физических теорий математическому аппарату. 

Геометрия и квазиклассические асимптотики

Авторы программы курса: Назайкинский Владимир Евгеньевич, Шафаревич Андрей Игоревич

Аннотация

Созданный В.П. Масловым канонический оператор – один из наиболее мощных инструментов построения глобальных квазиклассических асимптотик для линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений. В рамках данного курса планируется познакомить студентов с богатой геометрией, лежащей в основе канонического оператора (лагранжевы многообразия в фазовом пространстве, фокальные точки, каустики, индекс Маслова и т.д.) и с его современной конструкцией, позволяющей не только проводить теоретические исследования, но и эффективно анализировать решения конкретных задач с использованием средств реализации и графической визуализации аналитических и численных расчетов, предоставляемыми системами технических вычислений, такими как Wolfram Mathematica и MATLAB.

Необходимые базовые знания для освоения курса: 

Предполагается, что слушатели побывали на первом и втором курсах мехмата и в результате прошли курсы математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также дифференциальной геометрии и топологии. Желательно знакомство с азами теории функций комплексного переменного.

Данные Zoom конференции: 

Идентификатор конференции: 884 9248 5101
Код доступа: 945941
 
Дополнительные материалы по курсу

План курса

Лекция 1 (вводная): Общие понятия. Что такое асимптотическое разложение? Регулярная теория возмущений.  Пример: формулы теории возмущений для собственных значений линейного оператора в конечномерном пространстве. Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром при производных и их примеры. Откуда взялся малый параметр? Метод Эйлера для уравнений с постоянными коэффициентами. Понятие о сингулярной теории возмущений.

Одномерный случай

Лекция 2:  Одномерное уравнение Шрёдингера: задача на собственные значения и ВКБ-анзац. Уравнение Гамильтона–Якоби и его решение. Уравнение переноса. Фокальные точки и недостаточность ВКБ-анзаца для построения глобального решения. Замкнутая кривая  как геометрический объект, лежащий в основе асимптотического решения.

Лекция 3:  Быстроосциллирующие функции. Метод стационарной фазы. Преобразование Фурье и его основные свойства. Формула обращения преобразования Фурье и ее доказательство методом стационарной фазы. Фронт осцилляций быстроосциллирующей функции. Пример: вычисление фронта осцилляций для ВКБ-анзаца. 

Лекции 4–5: Индекс Маслова и условия квантования. Глобальное асимптотическое решение задачи на собственные значения для одномерного уравнения Шрёдингера и его фронт осцилляций. Канонический оператор Маслова.  Случай разомкнутой кривой .

Лекция 6:  Канонический оператор и специальные функции: (а) асимптотика функции Эйри при больших по модулю отрицательных значениях аргумента; (б) выражение функции, задаваемой каноническим оператором, в окрестности простой каустики (а иногда и глобальное) через функцию Эйри; (в) задача для гармонического осциллятора и асимптотика многочленов Эрмита с большими номерами.

Многомерный случай

Лекция 7: Симплектические многообразия. Гамильтоновы векторные поля и канонические преобразования. Стандартная симплектическая структура в и на кокасательном расслоении гладкого многообразия .  Теорема Дарбу (без доказательства).  Лагранжевы многообразия. Необходимое и достаточное условие инвариантности лагранжева многообразия относительно гамильтонова векторного поля.

Лекция 8: Лагранжевы многообразия в  как естественное обобщение решений уравнения Гамильтона–Якоби.  Вполне интегрируемые системы, лиувиллевы торы, переменные действие–угол.

Лекция 9:  Фокальные точки и каустики. Локальное задание лагранжевых многообразий с помощью невырожденных фазовых функций (в частности – производящих функций).  Конструкция таких функций с помощью «универсальной фазовой функции».

Лекция 10:  Осциллирующие интегралы с невырожденной фазовой функцией и их фронты осцилляций. Осциллирующие интегралы, связанные с заданным лагранжевым многообразием, и их сравнение.

Лекция 11: Глобальная конструкция канонического оператора на лагранжевом многообразии с мерой. Класс когомологий формы , индекс Маслова, условия квантования.  Явные формулы для канонического оператора.

Лекция 12:  Псевдодифференциальные операторы. Действие псевдодифференциального оператора на канонический оператор («формула коммутации») и построение асимптотических решений уравнения  и, как частный случай, .

Лекция 13:  Примеры: асимптотические решения волнового уравнения и некоторых разностных уравнений. Асимптотические формулы для функций Бесселя и многочленов Лежандра.

Выражение канонического оператора через специальные функции

Лекции 14–15: Лагранжевы расслоения и лагранжевы эквивалентности. Приведение особенностей проектирования лагранжевых многообразий общего положения к нормальной форме. Соответствующее преобразование канонического оператора. Выражения для канонического оператора в окрестностях каустик типа складки и сборки и способы вычисления входящих в них замен переменных.

Лекция 16:  Примеры: (а) каустики в волновом уравнении с переменной скоростью; (б) асимптотики интегралов типа Бесселя и асимптотические решения линеаризованной задачи о выходе волн цунами на берег.

 

Литература

  1. В.П. Маслов, М.В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976.
  2. М.В. Федорюк, Метод перевала, Наука, М., 1977.
  3. А.С. Мищенко, Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов, Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, Наука, М., 1978.
  4. В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики, Мир, М., 1981.
  5. Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956.
  6. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, URSS, М., 2017.
  7. В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений. Том 1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов, Наука, М., 1982.
  8. В.И. Арнольд, “О характеристическом классе, входящем в условия квантования”, Функц. анализ и его прил.1:1 (1967), 1–14. 
  9. С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, А.И. Шафаревич, “Новые интегральные представления канонического оператора Маслова в особых картах”, Изв. РАН. Сер. матем.81:2 (2017), 53–96.
  10. С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, “Лагранжевы многообразия и эффективные формулы для коротковолновых асимптотик в окрестности точки возврата каустики”, Матем. заметки108:3 (2020),  334–359.
  11. С.Ю. Доброхотов, Д.С. Миненков, В.Е. Назайкинский, “Представления функций Бесселя с помощью канонического оператора Маслова”, ТМФ208:2 (2021), 196–217.
  12. S.Y. Dobrokhotov, V.E. Nazaikinskii, A.I. Shafarevich, Canonical Operator on Punctured Lagrangian ManifoldsRuss. J. Math. Phys. 28, 22–36 (2021).

 

 

Дополнительная информация

Отчетность по курсу: в течение семестра студентам будет предложено выполнить практическое задание по построению квазиклассической асимптотики решения конкретной задачи методом канонического оператора и его анализу и визуализации с помощью системы Wolfram Mathematica. Завершится курс экзаменом.

2021-2022


осенний


спецкурс


3 курс, 4 курс, 5 курс, 6 курс

закрыть

Форма обратной связи