Математический анализ-2
Автор программы курса: Шапошников Станислав Валерьевич
Преподаватель: Бегунц Александр Владимирович
Аннотация
Курс математического анализа является базовым курсом и призван во втором семестре познакомить слушателей с функциональными последовательностями и многомерным анализом. Начало курса посвящено числовым рядам и несобственным интегралам. Затем будут рассмотрены функциональные последовательности и ряды, равномерная сходимость. Значительная часть курса второго семестра посвящена многомерному анализу и включает обсуждение теоремы об обратной функции, теоремы о неявной функции и многомерной формулы Тейлора. В результате освоения курса слушатели научатся исследовать и использовать несобственные интегралы, числовые и функциональные ряды, делать нелинейные замены переменных, исследовать на экстремум функции нескольких переменных.
Необходимые базовые знания для прохождения курса.
Предполагается, что слушатели освоили курсы алгебры и анализа первого семестра.
План курса
Лекции 1 – 4. Числовые ряды. Теорема сравнения, признаки Даламбера и Коши, признак Лейбница. Признак Гаусса сходимости ряда. Преобразование Абеля. Признаки Абеля и Дирихле сходимости числового ряда. Группировка и перестановка членов ряда. Произведение рядов.
Лекции 5 – 8. Несобственный интеграл. Несобственный интеграл Римана и его свойства. Сходимость несобственного интеграла: теорема сравнения, критерий Коши. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственного интеграла. Интегральный признак сходимости ряда. Формула суммирования Эйлера. Формула Стирлинга.
Лекции 9 – 10. Функции Эйлера. Гамма и бета функции Эйлера. Формулы понижения, формула Эйлера-Гаусса, формула дополнения, формула, выражающая бета функцию через гамма функцию. Вычисление интеграла Пуассона.
Лекции 11 – 15. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Дини. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости функционального ряда. Теорема о перестановочности пределов. Непрерывность предела равномерно сходящихся последовательностей и рядов непрерывных функций. Дифференцируемость и интегрируемость предела последовательности функций или суммы ряда.
Лекции 16 – 17. Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Теоремы Абеля. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Степенной ряд – ряд Тейлора своей суммы.
Лекции 18 – 20. Метрические и нормированные пространства. Метрические и нормированные пространства. Предел последовательности и полнота. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца и евклидова метрика на конечномерном пространстве. Сходимость последовательностей в конечномерном пространстве: покоординатная сходимость и теорема Больцано. Полнота конечномерного пространства. Эквивалентность норм на конечномерном пространстве. Открытые, замкнутые и компактные множества в конечномерном пространстве. Предел и непрерывность отображений. Равносильность определений Коши и Гейне. Непрерывность композиции непрерывных функций. Теорема о сжимающем отображении.
Лекции 21 – 25. Дифференцирование функций нескольких переменных. Непрерывность линейных отображений. Вид линейного отображения конечномерных пространств. Дифференцируемые отображения нормированных пространств. Единственность дифференциала. Непрерывность дифференцируемого отображения. Производная по вектору. Дифференцируемые функции нескольких переменных. Градиент функции. Частные производные. Достаточное условие дифференцируемости в терминах частных производных. Матрица Якоби. Основные правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность первого дифференциала. Непрерывность и дифференцируемость интеграла Римана с параметром.
Лекции 26 – 32. Теорема о неявной функции и дифференциалы высшего порядка. Теорема об обратной функции и теорема о неявной функции. Гладкие поверхности. Касательное пространство. Частные производные и дифференциалы высокого порядка. Теоремы Юнга и Шварца. Формула Тейлора. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Лемма Адамара. Лемма Морса. Условный экстремум. Правило множителей Лагранжа.
Литература
1. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях: В 3-х т. Том 1: Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: МЦНМО, 2017. – 412 с.
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е изд., испр. – М.: изд-во ЧеРо, изд-во Московского университета, 1997. – 625 с.
3. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I. Изд. 10-е, испр. – М.: МЦНМО, 2020. – 576 с.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х тт. – М.: Лань, 2018. – Т. 1. – 608 с.
5. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. 6-е изд., стер. – М.: Дрофа, 2008. – 638 c.
6. Шварц Л. Анализ. I-й том. – М.: Мир, 1972. – 824 с.
7. Макаров Б.М., Подкорытов А.Н. Лекции по вещественному анализу. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 688 с.
8. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. Изд. 2-е, перераб. – М.: ГИТТЛ, 1957. – 552 c.
9. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. – 2-е изд., испр. И доп. – М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011.—728 с.
