Функциональный анализ-1
Автор программы курса: Богачев Владимир Игоревич
Преподаватель: Шкаликов Андрей Андреевич
Аннотация
Курс функционального анализа является базовым курсом и призван в пятом семестре познакомить слушателей с основами теории функциональных пространств и линейных операторов в них. Эти знания необходимы для освоения современной теории вероятностей, теории случайных процессов, теории уравнений с частными производными и математической физики. В пятом семестре изучаются общие банаховы пространства и линейные функционалы и операторы в них. Доказываются основные принципы линейного анализа: теоремы Хана–Банаха, Банаха–Штейнгауза и Банаха об обратном операторе. Рассматриваются компактные операторы. Для нелинейных отображений устанавливаются теоремы Банаха и Шаудера о неподвижных точках. В результате освоения курса слушатели научатся обращаться с функциональными пространствами с различными нормами и линейными и нелинейными отображениями таких пространств
Необходимые базовые знания для прохождения курса.
Предполагается, что слушатели освоили курсы анализа первых четырех семестров и владеют основами линейной алгебры.
План курса
Лекции 1 – 3. Метрические пространства и нормированные пространства. Непрерывные отображения. Определения и примеры метрических и нормированных пространств. Пространства непрерывных функций, интегрируемых функций и пространства последовательностей. Полнота и сепарабельность. Непрерывные отображения и изометрии. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. Изометричность метрического пространства M части банахова пространства B(M) и существование пополнения M.
Лекции 4 – 6. Топологические пространства и компакты. Общие топологические пространства. Компактные множества и их свойства. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности в терминах фундаментальных последовательностей. Равносильность различных определений компакта в метрическом пространстве. Эквивалентность норм на конечномерном пространстве. Некомпактность шара в бесконечномерном нормированном пространстве. Критерии компактности в B(X), C[a,b] (теорема Асколи – Арцела) и гильбертовом пространстве.
Лекция 7. Теоремы о неподвижных точках. Теорема Банаха о сжимающих отображениях. Выпуклые компакты. Теорема Шаудера о неподвижной точке. Примеры.
Лекции 8 – 9. Гильбертовы пространства. Евклидовы и гильбертовы пространства. Ортонормированные системы и базисы. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Существование ортогональной проекции и ортогонального разложения в гильбертовом пространстве. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном евклидовом пространстве и в произвольном гильбертовом пространстве. Примеры базисов. Теорема Рисса – Фишера об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.
Лекция 10. Линейные операторы и функционалы. Линейные операторы и линейные функционалы. Норма оператора и непрерывность оператора. Теорема Банаха – Штейнгауза.
Лекция 11. Теорема Хана – Банаха. Теорема Хана – Банаха о продолжении линейных функционалов и ее следствия. Отделение выпуклых множеств.
Лекция 12. Сопряженные пространства. Сопряженные к банаховым пространства.Теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функционалана гильбертовом пространстве. Явный вид сопряженных к конкретнымпространствам. Изометрическое вложение нормированного пространства во второе сопряженное. Сопряженный оператор.
Лекция 13. Теоремы об обратном операторе и замкнутом графике. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом графике. Применения.
Лекции 14 – 15. Слабые топологии. Топология двойственности. Слабая и *-слабая топологии. Слабая сходимость в банаховом пространстве и *-слабая сходимость в сопряженном. Ограниченность слабо ограниченных множеств. Слабая сходимость в гильбертовом пространстве и в C[a,b]. Выделение *-слабо сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности функционалов на сепарабельном банаховом пространстве. Случай гильбертова пространства. Теорема о *-слабой компактности шара в сопряженном пространстве.
Лекция 16. Компактные операторы. Определение компактного оператора. Свойства компактных операторов. Примеры компактных и некомпактных операторов в банаховых пространствах. Критерии компактности оператора в гильбертовом пространстве.
Литература
1. Богачев В.И., "Функциональный анализ." М.: ПСТГУ, 2011. – 396 c.
2. Богачев В.И., Смолянов О.Г., "Действительный и функциональный анализ: университетский курс." 3-е изд., испр. и доп. – М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2021. — 756 с.
3. Бородин П.А., Савчук А.М., Шейпак И.А., "Задачи по функциональному анализу." М.: МЦНМО, 2017. – 336 с.
4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., "Элементы теории функций и функционального анализа." Изд. 4-е. – М.: Наука, 1976. – 544 с.
5. Рид М., Саймон Б., "Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ." – М.: Мир, 1977. – 359 c.
6. Рид М., Саймон Б., "Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность." М.: Мир, 1978. – 396 c.
7. Федоров В.М., "Курс функционального анализа." СПб.: Лань, 2005. – 352 с.
8. Хелемский А.Я., "Лекции по функциональному анализу." 2-е изд. М.: МЦНМО, 2014. – 560 c.
