ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова

Главной особенностью новой специализации является сочетание сильной математической подготовки с уклоном в современные курсы теоретической физики, обучение студентов физическому взгляду на задачи и необходимому для понимания языка физических теорий математическому аппарату. 

Функциональный анализ-1

Автор программы курса: Богачев Владимир Игоревич

Аннотация

Курс функционального анализа является базовым курсом и призван в пятом семестре познакомить слушателей с основами теории функциональных пространств и линейных операторов в них. Эти знания необходимы для освоения современной теории вероятностей, теории случайных процессов, теории уравнений с частными производными и математической физики. В пятом семестре изучаются общие банаховы пространства и линейные функционалы и операторы в них. Доказываются основные принципы линейного анализа: теоремы Хана–Банаха, Банаха–Штейнгауза и Банаха об обратном операторе. Рассматриваются компактные операторы. Для нелинейных отображений устанавливаются  теоремы Банаха и Шаудера о неподвижных точках. В результате освоения курса слушатели научатся обращаться с функциональными пространствами с различными нормами и линейными и нелинейными отображениями таких пространств

Необходимые базовые знания для прохождения курса.

Предполагается, что слушатели освоили курсы анализа первых четырех семестров и владеют основами линейной алгебры.

 

План курса

Лекции 1 – 3. Метрические пространства и нормированные пространства.  Непрерывные отображения. Определения и примеры метрических и нормированных пространств. Пространства непрерывных функций, интегрируемых функций и пространства последовательностей. Полнота и сепарабельность. Непрерывные отображения и изометрии. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. Изометричность метрического пространства M части банахова пространства B(M) и существование пополнения M.

Лекции 4 – 6. Топологические   пространства и компакты. Общие топологические   пространства.   Компактные  множества и  их свойства. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности в терминах фундаментальных последовательностей. Равносильность  различных  определений компакта в метрическом пространстве. Эквивалентность норм на конечномерном пространстве. Некомпактность шара в бесконечномерном нормированном пространстве. Критерии компактности в  B(X), C[a,b] (теорема Асколи – Арцела) и гильбертовом пространстве.

Лекция 7. Теоремы о неподвижных точках. Теорема Банаха о сжимающих отображениях. Выпуклые компакты.  Теорема Шаудера о неподвижной точке. Примеры. 

Лекции 8 – 9. Гильбертовы пространства. Евклидовы и гильбертовы пространства. Ортонормированные системы и базисы. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Существование ортогональной проекции и ортогонального разложения в гильбертовом пространстве. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном евклидовом пространстве и в произвольном гильбертовом пространстве. Примеры базисов.  Теорема Рисса – Фишера об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.

Лекция 10.  Линейные операторы и функционалы. Линейные операторы и линейные функционалы.  Норма оператора и непрерывность оператора. Теорема Банаха – Штейнгауза.

Лекция 11. Теорема Хана – Банаха. Теорема Хана – Банаха о продолжении линейных функционалов и ее следствия. Отделение выпуклых множеств.

Лекция 12. Сопряженные пространства. Сопряженные к банаховым пространства.Теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функционалана гильбертовом пространстве. Явный вид сопряженных к конкретнымпространствам. Изометрическое вложение нормированного пространства во второе сопряженное. Сопряженный оператор.

Лекция 13. Теоремы об обратном операторе и замкнутом графике. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом графике. Применения.

Лекции 14 – 15. Слабые топологии. Топология двойственности. Слабая и *-слабая топологии.  Слабая сходимость в банаховом пространстве  и *-слабая сходимость в сопряженном.  Ограниченность слабо ограниченных множеств.  Слабая сходимость в гильбертовом пространстве и в C[a,b]. Выделение *-слабо сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности функционалов на сепарабельном банаховом  пространстве. Случай гильбертова пространства. Теорема о *-слабой компактности шара в сопряженном пространстве.

Лекция 16. Компактные операторы. Определение компактного оператора. Свойства компактных операторов. Примеры компактных и некомпактных операторов в банаховых пространствах. Критерии компактности оператора в гильбертовом пространстве.

Литература

1. Богачев В.И., "Функциональный анализ." М.: ПСТГУ, 2011. – 396 c.

2. Богачев В.И., Смолянов О.Г., "Действительный и функциональный анализ: университетский курс."  3-е изд., испр. и доп. – М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2021. — 756 с.

3. Бородин П.А., Савчук А.М., Шейпак И.А., "Задачи по функциональному анализу." М.: МЦНМО, 2017. – 336 с.

4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., "Элементы теории функций и функционального анализа." Изд. 4-е. – М.: Наука, 1976. – 544 с.

5.  Рид М., Саймон Б., "Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ." – М.: Мир, 1977. – 359 c.

6. Рид М., Саймон Б., "Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность." М.: Мир, 1978. – 396 c.

7. Федоров В.М., "Курс функционального анализа." СПб.: Лань, 2005. – 352 с.

8. Хелемский А.Я., "Лекции по функциональному анализу." 2-е изд. М.: МЦНМО, 2014. – 560 c.

2023/2024


осенний


обязательный


3 курс

закрыть

Форма обратной связи