Эллиптические операторы и теорема об индексе

Автор программы курса: Савин Антон Юрьевич

Аннотация

Основная цель курса – познакомить слушателей с основными понятиями и методами эллиптической теории, включая теорию Фредгольма и ряд разделов алгебраической топологии. Развитие этих теорий в XX веке привело к получению знаменитой формулы Атьи-Зингера для индекса эллиптического оператора на гладком замкнутом многообразии. Эта формула не только содержит в себе в качестве частных случае многие формулы анализа, геометрии и топологии, но и имеет многочисленные обобщения и приложения во многих областях математики и физики.

Необходимые базовые знания для освоения курса:

Предполагается, что слушатели курса владеют основными математическими дисциплинами в рамках первых нескольких курсов университета.

Для регистрации на курс, пожалуйста, заполните форму.

План курса

Лекции 1-3. Теория Фредгольма. Компактные операторы. Фредгольмовы операторы. Теорема Аткинсона-Никольского. Индекс. Пример: теорема об индексе операторов Тёплица.

Лекции 4-6. Эллиптические операторы. Пространства Соболева в Rn и на многообразии. Псевдодифференциальные операторы (ПДО) в Rn и их символы. Исчисление ПДО. ПДО на многообразиях. Эллиптичность и фредгольмовость. Эллиптические комплексы. Пример: комплекс де Рама.

Лекции 7-9. Векторные расслоения и К-теория. Векторные расслоения и операции над ними. Примеры. Теорема Серра-Свана. Топологическая К-теория Атьи-Хирцебруха. Основные свойства К-групп.

Лекции 10-11. Характеристические классы векторных расслоений. Основные определения. Связности в векторных расслоениях. Формализм Черна-Вейля. Классы Черна, Понтрягина, Эйлера, Тодда, … Характер Черна.

Лекции 12-15. Теорема Атьи-Зингера об индексе. Элемент в К-теории, отвечающий эллиптическому оператору (разностная конструкция). Формула Атьи-Зингера для индекса эллиптического псевдодифференциального оператора на гладком замкнутом многообразии. Примеры, обобщения, приложения.

Литература

1. Booss, B.; Bleecker, D. D. Topology and analysis. The Atiyah-Singer index formula and gauge-theoretic physics. Springer-Verlag, New York, 1985. (все лекции кроме 10-11)

2. Lawson, H. Blaine, Jr.; Michelsohn, Marie-Louise. Spin geometry. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989.

3. Милнор Дж, Сташеф Дж. Характеристические классы. Мир, Москва, 1979 (лекции 10-11)

Дополнительная информация

Дополнительные источники:

1. Freed D.S. The Atiyah-Singer index theorem. Bull. Amer. Math. Soc., July 2021 https://doi.org/10.1090/bull/1747

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Atiyah%E2%80%93Singer_index_theorem

3. Савин А.Ю., Стернин Б.Ю. К-теория и теорема Атьи-Зингера. Лекции в НМУ. 2003. https://mccme.ru/ium/f03/AZ.html