Алгебра-4
Авторы программы курса: Жеглов Александр Борисович, Тимашёв Дмитрий Андреевич, Осипов Денис Васильевич
Преподаватель: Тимашёв Дмитрий Андреевич
Аннотация
Курс завершает алгебраический модуль программы. Центральная тема курса — теория линейных представлений и её применение к изучению структуры алгебраических систем. После изучения основных общих понятий и результатов теории представлений строится теория конечномерных ассоциативных алгебр, которая затем применяется к представлениям конечных групп. На материале линейных групп будет дано введение в теорию групп Ли и алгебр Ли. Будут изучены алгебры Клиффорда и спиноры.
Необходимые базовые знания для прохождения курса: необходимо владение материалом курсов алгебры 1-го и 3-го семестров, линейной алгебры и геометрии 1–2 семестров, анализа 1–3 семестров и геометрии 3 семестра.
План курса
Лекция 1. Общее понятие линейного представления. Представления групп, ассоциативных алгебр и алгебр Ли, примеры. Линейные и матричные представления, связь между ними. Основные понятия теории представлений: гомоморфизмы и изоморфизмы, инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, прямая сумма представлений. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления.
Лекция 2. Лемма Шура. Разложение вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые, изотипные компоненты. Одномерность неприводимых представлений коммутативных групп и алгебр над алгебраически замкнутым полем. Ортогональные и унитарные представления групп, их полная приводимость. Тензорное произведение представлений групп. Неприводимые представления прямого произведения групп.
Лекции 3-5. Конечномерные ассоциативные алгебры и их представления: нильпотентные алгебры, радикал, полупростые алгебры, полная приводимость их представлений. Теорема Бернсайда. Простые ассоциативные алгебры изоморфны матричным алгебрам над алгебрами с делением. Структура полупростых ассоциативных алгебр (теорема Веддерберна–Артина).
Лекции 6-8. Представления конечных групп: усреднение по группе, теорема Машке о полной приводимости, ортогонализуемость и унитаризуемость над полями R и C. Связь между линейными представлениями конечной группы и её групповой алгебры, регулярное представление. Количество и сумма квадратов размерностей неприводимых комплексных представлений. Одномерные представления, их количество и явное описание. Матричные элементы и характеры представлений, соотношения ортогональности. Неприводимые представления групп S3 и S4.
Лекция 9. Понятие линейной группы Ли. Классические линейные группы GLn, SLn, On, SOn, Spn, Un, SUn. Связные и несвязные группы Ли, компоненты связности.
Лекция 10. Касательная алгебра Ли, экспоненциальное отображение. Соответствие между группами Ли и алгебрами Ли.
Лекции 11-12. Линейные представления групп Ли и алгебр Ли. Присоединённое представление. Полная приводимость линейных представлений компактных групп Ли. Линейные представления групп Ли R и U1, многочлены Фурье.
Лекции 13-14. Линейные представления алгебры Ли sl2 и групп Ли SL2, SO3, SU2: полная приводимость, описание неприводимых представлений, характеры, разложение тензорных произведений (формула Клебша–Гордана). Сферические функции Лапласа.
Лекция 15. Алгебры Ли и ассоциативные алгебры, универсальная обёртывающая алгебра, теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта.
Лекции 16-18. Алгебры Клиффорда, их структура над полями R и C. Спинорная группа и спиноры.
Лекции 19-20. Целые расширения колец, лемма Нетер о нормализации, теорема Гильберта о нулях.
Лекции 21-23. Нильрадикал и радикал Джекобсона. Дискретно-номированные кольца и дедекиндовы области. Артиновы кольца.
Литература
1. Винберг Э.Б., "Курс алгебры", М., МЦНМО, 2017.
2.Кострикин А.И., "Введение в алгебру, ч. III: Основные структуры", М., Физматлит, 2001.
3.Бахтурин Ю.А. "Основные структуры современной алгебры". М., Наука, 1990.
4.Ленг С., "Алгебра". М., Мир, 1968.
5. Винберг Э.Б., "Линейные представления групп". М., Наука, 1985.
6. Серр Ж.-П., "Линейные представления конечных групп". М., Мир, 1970.
7. Сборник задач по алгебре (под ред. А.И. Кострикина), М., МЦНМО, 2015.
8. D.J.H. Garling. Clifford algebras. "An introduction." Cambridge University Press, 2011.
9. Атья М., И. Макдональд, "Введение в коммутативную алгебру".Мир, М., 1972.
