Инварианты Дональдсона гладких структур на 4-мерных многообразиях

Автор программы курса: Тюрин Николай Андреевич

Аннотация

В течение этого курса мы хотели обсудить задачу классификации гладких структур на 4 - мерных многообразиях. Относительно недавно Г. Перельман,
доказав 3 мерную гипотезу Пуанкаре, показал, что в меньших размерностях задачи классификации в Топологии и Геометрии приводят к одинаковым
ответам. В размерности 4 это не так: обычное четырехмерное пространство допускает континуум разных гладких структур, а если ограничиться компактным случаем, то до сих пор не известно, сколько гладких структур допускает комплексная проективная плоскость.

Сорок лет назад С. Дональдсон предложил замечательную конструкцию новых инвариантов гладких структур на 4 -мерных компактных многообразиях,
позволивших получить примеры компактных многообразий, допускающих неэквивалентные гладкие структуры. Определение инвариантов основано на
рассмотрениях, пришедших из теоретической физики, поэтому часто соответствующую теорию называют теорией инстантонов.

В этом курсе мы попытаемся представить общие определения и главные шаги в конструкциях и рассуждениях, оставляя за рамками множество технических
деталей, так что настоящий курс есть просто краткое введение в теорию Дональдсона, адресуемое прежде всего студентам младших курсов.

Регистрация на курс.

План курса

Топологическая, PL и гладкая структура на многообразии. Отличия в разных размерностях.
Группы когомологий и реализация дифференциальными формами.
Группы гомологий и реализация ориентируемыми подмногообразиями.
4- мерные многообразия: форма пересечения.
Классические результаты, теорема Рохлина.
Конформные классы и операторы Ходжа.
Теория Ходжа: разложение.
Комплексная геометрия и теория Ходжа.
Связности и кривизны.
Калибровочная группа: дейтсвие и факторизация.
Уравнение инстантона. Многообразие модулей.
Индексы и размерности.
Индуцируемые классы на фактопространствах. Полиномы.
Неэквивалентность алгебраической поверхности своей топомодели.