Геометрия и топология-4

Авторы программы курса: Панов Тарас Евгеньевич, Жеглов Александр Борисович, Дынников Иван Алексеевич

Преподаватель: Тужилин Алексей Августинович

Аннотация

В курсе излагаются основания гомотопической топологии и связанные с ними конструкции дифференциальной геометрии. Вводятся понятия клеточных пространств, гомотопии и гомотопической эквивалентности, накрытия, векторного расслоения, аффинной связности. Строятся гомотопические инварианты такие, как фундаментальная группа, когомологии де Рама и степень отображения.

План курса

Тема 1. Напоминание: топологические пространства, непрерывные отображения, гомеоморфизмы, связность, компактность, хаусдорфовость. Непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства на хаусдорфово есть гомеоморфизм.

Тема 2. Фактор-топология, факторпространства, примеры.

Тема 3. Топология произведения, тихоновская топология. Теорема Тихонова о компакте.

Тема 4. Топология на пространстве отображений (компактно-открытая топология), связь с топологией произведения.

Тема 5. Гомотопия. Гомотопические эквивалентности, стягиваемость, примеры.

Тема 6. Клеточные пространства. Операция приклеивания клетки. Клеточное разбиение произведения клеточных пространств.

Тема 7. Примеры клеточных пространств: сферы, конечные и бесконечные проективные пространства, классические поверхности.

Тема 8. Свойство продолжения гомотопии, связь с ретракцией.

Тема 9. Свойство продолжения гомотопии для клеточных пар. Следствие для факторпространства по стягиваемому подпространству.

Тема 10. Теорема о клеточной аппроксимации. Гомотопическая тривиальность отображений из сферы в сферу большей размерности. Негомеоморфность евклидовых пространств разной размерности.

Тема 11. Гомотопия петель. Произведение петель, его свойства.

Тема 12. Фундаментальная группа пространства с отмеченной точкой. Её поведение при отображениях. Связь с гомотопией и гомотопической эквивалентностью.

Тема 13. Зависимость фундаментальной группы от отмеченной точки.

Тема 14. Фундаментальная группа окружности. Несуществование ретракции двумерного диска на край, теорема Брауэра о неподвижной точке, основная теорема алгебры.

Тема 15. Свободное произведение групп. Свободная группа. Задание группы образующими и соотношениями. 

Тема 16. Задание фундаментальной группы клеточного пространства образующими и соотношениями.

Тема 17. Теорема ван Кампена.

Тема 18. Накрытия. Примеры. Свойство поднятия путей.

Тема 19. Свойство поднятия гомотопии. Существование и единственность накрывающей гомотопии для накрытий.

Тема 20. Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный отображением накрытия. Связь числа точек в прообразе точки при накрытии и индекса подгруппы. 

Тема 21. Теорема о поднятии отображений для накрытий.

Тема 22. Универсальное накрытие.

Тема 23. Классификация накрытий подгруппами в фундаментальной группе, регулярные накрытия.

Тема 24. Когомологии де Рама.  

Тема 25. Примеры вычисления когомологий. Когомологии сфер.

Тема 26. Формулировка теоремы Сарда. Трансверсальность. 

Тема 27. Степень отображения, ее гомотопическая инвариантность. 

Тема 28. Индекс изолированной особой точки векторного поля, инвариантность суммы индексов на замкнутом многообразии.

Тема 29. Локально тривиальные расслоения. Векторные расслоения.

Тема 30. Понятие аффинной связности в векторном расслоении. 

Литература

1. Васильев В.А., "Введение в топологию." Москва, Фазис, 1997.
2. Виро О.Я., Иванов О.А., Нецветаев Н.Ю., Харламов В.М., "Элементарная топология." Москва, МЦНМО, 2010.
3. Панов Т.Е. "Введение в топологию / Топология-1." Курс лекций. http://higeom.math.msu.su/people/taras/#teaching
4. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б., "Курс гомотопической топологии." Москва, Наука, 1989.
5. Хатчер А., "Алгебраическая топология." Москва, МЦНМО, 2011.
6. Хьюзмоллер Д., "Расслоенные пространства." М.: Мир, 1970.
7. Мищенко А.С., Фоменко А.Т., "Курс дифференциальной геометрии и топологии." Изд. 4, перераб. и доп. URSS. 2020. 504 с.
8. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., "Современная геометри." Наука, М., 1984.
9. Постников, М.М., "Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия." М.: Наука. 1988. - 496 с.