Геометрия-1

Автор программы курса: Дынников Иван Алексеевич

Преподаватель: Дынников Иван Алексеевич

Аннотация

Курс знакомит слушателей с алгебраическим подходом к решению задач аффинной, евклидовой и проективной геометрий. Излагается теория кривых и поверхностей второго порядка, доказываются теоремы их метрической, аффинной и проективной классификации. Вводятся соответствующие группы преобразований и изучаются основные свойства этих преобразований. Излагаются элементы сферической геометрии и геометрии Лобачевского.

План курса

Лекция 1. Геометрическое определение эллипса, параболы и гиперболы. Эллипс, парабола и гипербола как конические сечения. Оптическое свойство коник.

Лекция 2. Аналитическое определение эллипса, параболы и гиперболы. Его совпадение с геометрическим определением. Уравнение асимптот гиперболы.

Лекция 3. Полярные координаты. Формулы поворота плоскости на данный угол и симметричного отражения относительно данной прямой.

Лекция 4. Директориальное свойство коник. Уравнения коник в полярных координатах.

Лекция 5. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, репер. Аффинная система координат. Деление отрезка в данном отношении.

Лекция 6. Скалярное произведение и его свойства. Формула для скалярного произведения в аффинной системе координат. Прямоугольные системы координат.

Лекция 7. Матрица Грама. Выражение площади параллелограмма и объема параллелепипеда через скалярные произведения порождающих их векторов.

Лекция 8. Матрица перехода между базисами. Геометрический смысл ее определителя. Ориентация плоскости и пространства.

Лекция 9. Ориентированная площадь и ориентированный объем. Их свойства. Совпадение ориентаций базисов как критерий их непрерывной деформируемости друг в друга.

Лекция 10. Векторное и смешанное произведения. Их свойства и формулы для вычисления в прямоугольной положительно ориентированной системе координат.

Лекция 11. Ортогональная проекция вектора на вектор. Формулы поворота пространства вокруг данной прямой на данный угол.

Лекция 12. Сферический треугольник. Теоремы синусов и косинусов на сфере. Площадь сферического многоугольника как угловой дефект.

Лекция 13. Многочлены первой степени на плоскости и в пространстве. Полуплоскости и полупространства. Задание прямых и плоскостей общими и параметрическими уравнениями.

Лекция 14. Понятие аффинной классификации геометрических объектов. Взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в пространстве.

Лекция 15. Пучки прямых и плоскостей, связки прямых, геометрический смысл линейной зависимости уравнений.

Лекция 16. Понятие метрической классификации геометрических объектов. Формулы для расстояний и углов между прямыми и/или плоскостями в прямоугольных системах координат.

Лекция 17. Формулы перехода между аффинными системами координат. Ортогональные матрицы. Общий вид ортогональной матрицы размера 2×2.

Лекция 18. Ортогональные матрицы 3×3. Углы Эйлера.

Лекция 19. Алгебраические уравнения. Инвариантность степени многочлена при аффинной замене координат. Квадрики и поверхности второго порядка.

Лекция 20. Преобразование многочлена второй степени при аффинной замене координат. Ортогональные инварианты многочлена второй степени.

Лекция 21. Редукция многочлена второй степени, инвариантного относительно сдвига, к меньшему числу переменных.

Лекция 22. Приведение невырожденного многочлена второй степени к каноническому виду.

Лекция 23. Метрическая классификация кривых и поверхностей второго порядка.

Лекция 24. Единственность квадрики, проходящей через пять точек. Теорема Паскаля.

Лекция 25. Пересечение прямой и квадрики. Асимптотические направления кривой второго порядка, их геометрический смысл.

Лекция 26. Диаметры квадрики и диаметральные плоскости поверхности второго порядка, их геометрический смысл. Сопряженные направления.

Лекция 27. Центры кривых и поверхностей второго порядка. Уравнения центров и связь с диаметрами.

Лекция 28. Особые точки кривых и поверхностей второго порядка. Касательные к кривым и касательные плоскости к поверхностям второго порядка.

Лекция 29. Сопряженность точек относительно кривой второго порядка. Поляра точки и полюс прямой относительно квадрики. Теорема Брианшона.

Лекция 30. Главные направления, оси симметрии кривых и плоскости симметрии поверхностей второго порядка.

Лекция 31. Аффинная классификация квадрик и поверхностей второго порядка. Метод Лагранжа.

Лекция 32. Плоские сечения поверхности второго порядка. Нахождение инвариантов сечения по уравнениям поверхности и плоскости.

Лекция 33. Сечение поверхности касательной плоскостью. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Лекция 34. Стереографическая проекция сферы и двуполостного гиперболоида вращения. Образы плоских сечений при стереографической проекции.

Лекция 35. Определение аффинного преобразования. Запись аффинного преобразования в координатах.

Лекция 36. Изменение матрицы аффинного преобразования при переходе из одной аффинной системы координат в другую.

Лекция 37. Изометрические преобразования. Критерии изометричности преобразования.

Лекция 38. Преобразования сжатия-растяжения вдоль взаимно перпендикулярных направлений и их матрицы.

Лекция 39. Теорема о строении общего аффинного преобразования.

Лекция 40. Теорема Шаля о классификации движений плоскости.

Лекция 41. Классификация движений пространства.

Лекция 42. Группа единичных кватернионов. Параметризация Кэли-Клейна группы SO(3).

Лекция 43. Гиперболические повороты. Псевдометрика на плоскости. Длина дуги гиперболы в псевдометрике.

Лекция 44. Плоскость Лобачевского. Модель Пуанкаре. Прямые (геодезические), орициклы и абсолют. Расстояние между точками плоскости Лобачевского.

Лекция 45. Геодезический треугольник на плоскости Лобачевского. Теоремы синусов и косинусов.

Лекция 46. Площадь геодезического многоугольника на плоскости Лобачевского как угловой дефект. 

Лекция 47. Соотношения между длинами сторон прямоугольного шестиугольника на плоскости Лобачевского.

Лекция 48. Проективная прямая. Двойное отношение. Дробно-линейные преобразования.

Лекция 49. Абсолют плоскости Лобачевского как проективная прямая. Изометрические преобразования плоскости Лобачевского.

Лекция 50. Классификация проективных преобразований прямой и изометрий плоскости Лобачевского.

Лекция 51. Проективная плоскость как пополнение аффинной. Модель связки проективной плоскости. Задание проективного соответствия образами четырех точек.

Лекция 52. Инцидентность точек и прямых на проективной плоскости. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Лекция 53. Проективные системы координат. Запись проективных преобразований в координатах.

Лекция 54. Кривые второго порядка на проективной плоскости. Проективная классификация квадрик.

Лекция 55. Рациональная параметризация овалов.

Лекция 56. Аффинные преобразования комплексной прямой, их геометрический смысл.

Лекция 57. Комплексная проективная прямая. Геометрические свойства проективных преобразований комплексной прямой.

Лекция 58. Трехмерное пространство Лобачевского. Движения пространства Лобачевского и конформные преобразования сферы.

 

Литература

1. А.П.Веселов, Е.В.Троицкий. Лекции по аналитической геометрии. Москва, Издательство МЦНМО, 2016.
2. М.М.Постников. Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия. Москва, "Наука", 1986.
3. П.С.Александров. Лекции по аналитической геометрии. Санкт-Петербург, "Лань", 2008.
4. В.В.Прасолов. Геометрия Лобачевского. Москва, Издательство МЦНМО, 2004.