Уравнения математической физики-1, 2

Авторы программы курса: Радкевич Евгений Владимирович, Палин Владимир Владимирович

Преподаватель: Палин Владимир Владимирович

Аннотация

Годовой курс «Уравнения математической физики» состоит из двух частей. Первая часть представляет собой сжатое изложение ряда классических результатов теории линейных уравнений с частными производными второго порядка и необходимых конструкций из теории обобщённых функций, и пространств Соболева. Вторая часть должна познакомить студентов с более современными результатами для квазилинейных и нелинейных задач. В качестве приложений рассматриваются задача Коши для систем законов сохранения и задача о двойной пористости.

План курса

Лекция 1. Волновое уравнение (задача Коши и смешанная задача). Линейные замены переменных. Представление решения в виде суммы двух волн. Формула Даламбера. Смешанная задача для полуограниченной струны. Метод нечётного продолжения. Сферическая симметрия и уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу. Формула Кирхгофа. Формула Пуассона. Интеграл энергии, конус зависимости, единственность.

Лекция 2. Параболика (классика).Ядро Пуассона как решение с симметриями. Существование классического решения задачи Коши (с непрерывными и ограниченными начальными данными) и его гладкость. Теоремы о стабилизации. Принцип максимума в "стакане" и в полосе (техника суб- и суперрешений). Единственность для задачи Коши и для первой смешанной задачи.

Лекция 3. Эллиптика (классика). Гармонические функции и их свойства: три теоремы о среднем, принцип максимума, единственность. Свертка с усредняющим ядром и ее гладкость. Гладкость гармонических функций. Неравенство Харнака без точных констант (по книге [5]), теорема Лиувилля.

Лекция 4. Обобщённые функции. Пространства D и D', S и S'. Ограничение обобщённой функции на множество. Операции над обобщёнными функциями: общая схема, дифференцирование, домножение на гладкую функцию. Преобразование Фурье. Образ Фурье быстро убывающей функции -- быстро убывающая. Формула обращения преобразования Фурье. Преобразование Фурье обобщённых функций умеренного роста. Равенство Парсеваля. Преобразование Фурье функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу. Принцип Дюамеля для эволюционных уравнений (через преобразование Фурье).

Лекция 5. Пространства Соболева. Шкала пространств Соболева H^s(R^n). Простейшие теоремы вложения. H^s(R^n) гильбертово. H^s(\Omega) и H^s_0(\Omega). Неравенства Фридрихса и Пуанкаре. След функции на многообразии. Функции с нулевым следом.

Лекция 6. Эллиптика (обобщённые постановки). Обобщённые решения краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона в ограниченной области: существование и единственность. Вариационная постановка краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Метод Ритца.

Лекция 7. Нелинейные УрЧП первого порядка. Обобщённая задача Коши для нелинейного УрЧП первого порядка. Локальная теорема существования классического решения. Частный случай: нестационарное уравнение Гамильтона-Якоби. Несуществование глобального гладкого решения. Обобщенное решение в смысле интегрального тождества. Условия Рэнкина-Гюгонио. Неединственность. Регуляризация вязкостью (выпуклый случай) и условие Лакса устойчивой ударной волны. Формулы Хопфа-Лакса и Лакса-Олейник.

Лекция 8. Задача Римана и схема Годунова. Выпуклый случай: ударная волна и волна разрежения. Случай произвольной функции потока: геометрическое решение как многозначное решение, получаемое методом характеристик. Условие Введенской-Олейник и построение обобщённого решения по геометрическому. Схема Годунова.

Лекция 9. Системы законов сохранения. Строгая и нестрогая гиперболичность. Алгебра: гладкость собственных векторов и собственных значений в строго гиперболическом случае. Простые волны, линейная вырожденность и существенная нелинейность. Волна разрежения, контактный разрыв и ударная волна. Существование решения задачи Римана для малых скачков. Инварианты Римана.

Лекция 10. Двухмасштабная сходимость. Метод монотонности для нелинейных эллиптических уравнений. По книге [8]

Практические занятия и семинары.

Корректность. Основные постановки линейных задач. Решения в виде волнового пакета. Корректность.

Гиперболические уравнения: классические решения.Характеристики по Годунову. Общее решение для гиперболического УрЧП с двумя независимыми переменными. Четырехточечное соотношение как точная разностная схема для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера. Метод падающей и отраженной волн. Волновые фронты. Частные случаи возможности точного решения задачи Коши: сферическая симметрия, ортогональные замены, принцип Дюамеля, конечномерные инвариантные подпространства оператора Лапласа.

Параболические и эллиптические уравнения: классическая теория. Случаи точного решения задачи Коши для уравнения теплопроводности: интеграл с квадратичной фазой, ортогональные замены, принцип Дюамеля, конечномерные инвариантные подпространства оператора Лапласа. Параболическая теорема о среднем (формулировка). Задачи о линиях уровня. Теоремы о стабилизации. Задачи об аналогах принципа максимума. Задачи на теорему Лиувилля и неравенство Харнака.

Обобщённые функции.Сходимость пробных функций. Её неметризуемость. Секвенциальная непрерывность и аналог ограниченности. Теорема о дифференцировании кусочно-гладкой функции. ОДУ в обобщенных функциях. Линейная замена переменных в обобщённой функции. Свёртка обобщённой и гладкой функций. Фундаментальное решение для ОДУ. Функция Грина краевой задачи на отрезке. Обобщение на случай произвольной размерности. Фундаментальное решение оператора Лапласа. Электростатическая интерпретация. Преобразование Кельвина и формула Пуассона. Функция Грина для задачи Дирихле для областей на плоскости. Уточнённое неравенство Харнака.

Метод Фурье. Задача Штурма-Лиувилля. Метод Фурье для колебаний ограниченной струны. Свойства коэффициентов Фурье и пространства Соболева (сходимость рядов \sum\limits_kk^2\phi_k^2, ряд для обобщенной производной, критерий того, что \phi\in H^1((0;\pi)) в терминах коэффициентов Фурье, вложение H^1((0;\pi)) в C([0;\pi])). Решения с конечной энергией и группа сдвигов начальных данных на время t для волнового уравнения. Ряд Фурье гармонической функции в кольце и круге как аналог ряда Лорана.

Законы сохранения и нелинейные волны.Классические решения задачи Коши для нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби. Допустимые обобщённые решения задачи Коши для скалярного закона сохранения (выпуклый случай). Взаимодействие волновых фронтов. Задача Римана (невыпуклый случай). Сохранение среднего. Выравнивание. Инварианты Римана. Энтропия.

Двухмасштабная сходимость. Слабая сходимость в L_2 и слабая двухмасштабная сходимость. Сильная двухмасштабная сходимость. Потенциальные и соленоидальные векторы. Классическое усреднение.

Литература

1. Владимиров В.С., "Уравнения математической физики." М.: Наука, 1981.

2. Годунов С.К., "Уравнения математической физики." М.: Наука, 1979

3. Жиков В.В., Иосифьян Г.А., "Введение в теорию двухмасштабной сходимости" Тр. сем. им. Петровского, 2013, вып. 29, 281-332.

4. Комеч А.И., "Практическое решение задач математической физики." М.: МГУ, 1993.

5. Либ Э., Лосс М., "Анализ: Учебное пособие для студентов мат. и физ. специальностей вузов." Пер. с англ. Т. Н. Рожковской, Новосибирск, Науч. кн., 1998.

6. Михлин С.Г., "Курс математической физики." М.: Наука, 1968

7. Петровский И.Г., "Лекции об уравнениях с частными производными." изд.-3, дополненное. М.: Наука, 1961.

8. Эванс Л.К.," Уравнения с частными производными." Пер. с англ. Т.Н. Рожковской, Новосибирск, Тамара Рожковская, 2003.

Дополнительная информация