Арифметика квадратичных форм в аналитической теории чисел
Автор программы курса: Калмынин Александр Борисович
Преподаватель: Калмынин Александр Борисович
Аннотация
Вопросы представимости целых чисел квадратичными формами с целыми коэффициентами восходят к таким классикам математики как Ферма, Гаусс и Дирихле. Например, рождественская теорема Ферма связывает суммы двух квадратов со свойствами квадратичных колец, а аналитическая формула для числа классов устанавливает связь между простыми числами в арифметических прогрессиях и значениями L-функций квадратичных характеров. В данном курсе мы обсудим классические аспекты арифметики квадратичных форм и их связь с L-функциями и модулярными формами, а также разнообразные их приложения в теории чисел.
План курса
1. Суммы квадратов, теоремы Ферма, Лежандра и Лагранжа о суммах 2, 3 и 4 квадратов. Теорема Гурвица о тождествах для сумм квадратов*
2. Числовые поля, их кольца целых, арифметика квадратичных полей и квадратичный закон взаимности.
3. Классы квадратичных форм, группа SL(2,Z), композиционный закон Гаусса. Кубы Бхаргавы*
4. L-функции Дирихле, простые числа в арифметических прогрессиях. Аналитическая формула для числа классов. Теорема Зигеля-Вальфиша. Суммы кубов*
5. Проблема круга Гаусса, формулы суммирования. Теоремы Ландау и Бернайса. *Суммы двух полноквадратных чисел
6. Эллиптические функции и модулярные формы, j-инвариант, простые числа вида x²+ny².
