Проективное пространство: геометрия и механика

Комплексное проективное пространство является одним из базовых примеров в различных геометриях. В дифференциальной геометрии это один из основных примеров компактного гладкого ориентируемого многообразия (+ основная гипотеза о существовании экзотических гладких структур на комплексной проективной плоскости).

В алгебраической геометрии это и основной пример компактного алгебраического многообразия, и объемлющее пространство, в которое каждое компактное алгебраическое многообразие обязано вкладываться. В симплектической геометрии это также один из базовых примеров компактного симплектического многообразия, и отсюда естественным образом вытекает исследование комплексного проективного пространства как фазового пространства некоторой механической системы, причем эта система является полностью интегрируемой. Но и не только в классической механике, но и в квантовой механике проективное пространство играет существенную роль - т.н. Геометрическая формулировка квантовой механики представлена в терминах проективизации гильбертова пространства, то есть снова имеем проективное пространство.

Курс будет строиться таким образом, чтобы слушатель с багажом, состоящим из стандартной линейной алгебры и школьной физики, мог участвовать в обсуждении.

В предлагаемом курсе мы планируем подробно обсудить геометрию проективного пространства, сопровождая рассказ в большей степени простыми примерами нежели подробными доказательствами. В качестве приложений мы представим

некоторые стандартные задачи классической механики на проективном пространстве, обсудим некоторые аспекты симплектической геометрии проективного пространства, а также представим конструкцию геометризации квантовой

механики, в которой проективное пространство играет роль настоящего фазового пространства.