Математический анализ-3

Автор программы курса: Солодов Алексей Петрович

Аннотация

«Анализ на многообразии» продолжает курс математического анализа первых двух семестров и призван познакомить слушателей с многомерным интегралом Римана и объемом, гладким многообразием, интегрированием дифференциальных форм по гладкому многообразию и теоремой Стокса. Начало курса посвящено кратному интегралу Римана, теореме Фубини и формуле замены переменной. Затем будут рассмотрены свойства дифференциальных форм и интегрирование дифференциальных форм по цепям. Важная часть курса посвящена гладким многообразиям, интегрированию плотностей и дифференциальных форм по многообразию, формуле Стокса. 

Необходимые базовые знания для прохождения курса. 

Предполагается, что слушатели освоили курсы алгебры, геометрии, топологии и анализа первых двух семестров.

План курса

Лекции 1 – 4. Кратный интеграл Римана по брусу. Кратный интеграл Римана по брусу. Линейность и монотонность интеграла. Интегрируемость ступенчатой функции. Перестановочность равномерного предела и интеграла. Интегрируемость непрерывной на брусе функции. Монотонное приближение ступенчатыми функциями. Критерий интегрируемости. Теорема Фубини для интеграла по брусу. Формула интегрирования по частям для функций, равных нулю на границе бруса.

Лекции 5 – 6. Кратный интеграл Римана по множеству. Множества меры нуль по Лебегу. Критерий Лебега. Интеграл Римана по множеству. Корректность определения. Мера Жордана. Свойства интеграла Римана по множеству: аддитивность, теорема о среднем. Сечения множества. Теорема Фубини для интеграла по множеству. Несобственный кратный интеграл Римана.

Лекции 7 – 10.  Формула замены переменной в интеграле Римана. Формула замены переменных для линейного отображения. Формула замены переменной в общем случае. Теорема Брауэра о неподвижной точке. Теорема о «Еже».

Лекции 11 – 13. Дифференциальные формы на Rn. Определение дифференциальной формы. Внешнее умножение и его свойства. Внешнее дифференцирование. Точные и замкнутые формы. Лемма Пуанкаре. Перенос формы. 

Лекции 14 – 15. Интегрирование дифференциальных форм по цепям. Сингулярный куб. Цепь и граница цепи. Интеграл от формы по цепи. Теорема Стокса. Формула Грина и формула Гаусса-Остроградского.

Лекции 16 – 24. Интегрирование дифференциальных форм по многообразию. Гладкое многообразие. Касательное пространство. Дифференциальные формы на многообразии и их свойства. Ориентация многообразия и способы ее задания. Разбиение единицы. Интегрирование плотностей на многообразии. Элемент площади. Интеграл от формы по многообразию. Теорема Стокса. 

Литература

1. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях: В 3-х т. Том 1: Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: МЦНМО, 2017. – 412 с.

2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 13-е изд., испр. – М.: изд-во ЧеРо, изд-во Московского университета, 1997. – 625 с.

3. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I. Изд. 10-е, испр. – М.: МЦНМО, 2020. – 576 с.

4. Шварц Л. Анализ. I-й том. – М.: Мир, 1972. – 824 с.

5. Спивак М. Математический анализ на многообразиях.—М.: Мир, 1968.

6. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч. II, кн. 2 — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001.

7. Львовский С.М. Лекции по математическому анализу.—М.: МЦНМО,2008.

Дополнительная информация