Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)-1,2

Автор программы курса: Локуциевский Лев Вячеславович

Преподаватель: Локуциевский Лев Вячеславович

Аннотация

Данный курс представляет из себя углубленное введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Структура курса построена таким образом, чтобы выявить глубокие связи теории дифференциальных уравнений со остальными фундаментальными разделами математики: анализом, геометрией и алгеброй. Помимо классических результатов без которых невозможен ни один курс по обыкновенным уравнениям, программа включает в себя начала трех дисциплин, естественно вытекающих из курса: теорию динамических систем, уравнения в частных производных и групповой анализ Ли. В курсе будет предложено большое важных примеров.

Необходимые базовые знания для прохождения курса

Анализ: пределы, непрерывность, дифференцируемость, интеграл Римана, функции многих переменных, равномерная сходимость. Для второй части также необходимы основы комплексного анализа.

Геометрия: метрические пространства, открытость/замкнутость/компактность/связность, непрерывность, полнота. Для второй части также необходимы гладкие многообразия, дифференциальные формы.

Алгебра: линейные пространства и линейные отображения, базис, определитель, сопряженные пространства, характеристический многочлен, жорданова нормальная форма.

План курса

Лекция 1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения в конечномерном линейном пространстве V. Фазовое пространство, расширенное фазовое пространство. Разрешение относительно производной. Два определения решения: классическое и по Пикару, их эквивалентность в непрерывном случае. Инвариантность решения относительно замен координат. Примеры: одномерная экспонента, радиоактивные изотопы.

Лекция 2. Теорема о локальном существовании и единственности решения ОДУ (теорема Пикара для задачи Коши). Примеры: метод Эйлера, математический маятник, примеры отсутствия единственность или существования.

Лекция 3-4. Теорема о повышении гладкости решения ОДУ. Первые способы явного нахождения решений. (a) Разделение переменных: f(x) dx=g(y) dy. (b) Полный дифференциал: решение P(x,y) dx+Q(x,y) dy=0 и интегрирующий множитель. (c) Линейное однородное и неоднородные уравнения с одной переменной. (d) Метод интегрирующего множителя. (e) Обобщенно однородные уравнения. (f) Производная вдоль решений ОДУ. Первые интегралы. Примеры для каждого из методов.

Лекция 5. Теорема о глобальная единственности, включая решения вдоль границы (основанная на лемме Гронуолла). Теорема о непродолжимом решении.

Лекция 6. Теорема о продолжении решения ОДУ до границы замкнутой области или пока не убежит на бесконечность. Следствие: интегральные кривые не пересекаются и заполняют область в расширенном фазовом пространстве. Достаточное условие полноты векторного поля. Пример неполного векторного поля на плоскости.

Лекция 7-8. Линейные системы на линейном конечномерном пространстве. Теорема о структуре решений линейного однородного ОДУ (продолжимость решений на всю прямую, линейная структура пространства решений, его размерность). Поток такого уравнения и его свойства. Пример: вычисление ∫_(-∞)^(-∞)▒cos  x⁄((1+x^2 ) ) dx.

Лекция 9. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Формулы Якоби и Остроградского–Лиувилля. Пример: линейные уравнения одного переменного высших порядков. Решение линейных неоднородных уравнений, за счет выпрямления поля в подвижном базисе, общая формула для решения. Линейные неоднородные уравнения и методы решения. Пример: вынужденные колебания.

Лекция 10-11. Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Операторная экспонента и ее свойства. Присоединенные действия ad и Ad и их связь с операторной экспонентой. Пример: формула Кэмпбелла-Хаусдорфа для простейшего случая [A,B]=A.

Лекция 12. Линейные ОДУ высшего порядка с одной неизвестной. Характеристический многочлен. Комплексификация такого уравнения. Общая формула решения в комплексном и действительном случаях. Общая формула для решений линейного не однородного уравнений высших порядков.

Лекция 13. Теорема сравнения Штурма: канонический вид, нахождение общего решения с помощью одного частного, теорема сравнения Штурма. Пример: малые стационарные колебания струны.

Лекция 14. Теорема о непрерывной зависимости решения ОДУ от правой части и начального условия. Теорема о непрерывности решения по параметру.

Лекция 15-16. Теорема о производной решения ОДУ по параметру. Уравнение в вариациях. Пример: фазовый портрет физического маятника и его линеаризации в окрестности обоих положений равновесия. Теорема о гладкой зависимости решения от параметра.

Лекция 17. Автономные системы и векторные поля. Теорема об изменении векторного поля при замене координат. Отображение потока и его свойства (групповое свойство, гладкость, связь с уравнением в вариациях). Пример: система Лотки-Вольтерра.

Лекция 18-19. Теорема о выпрямлении поля и следствие о существовании полного набора первых интегралов. Примеры выпрямления поля. Невозможность выпрямления в окрестности неподвижной точки.

Лекция 20. Пример: классификация неподвижных точек двумерной системы (седло, узел, фокус, центр, и вырожденные).

Лекция 21. Неподвижные точки векторных полей. Устойчивости (по Ляпунову, асимптотическая). Пример диполя на сфере. Теорема о необходимых и достаточных условиях устойчивости/асимптотической устойчивости линейной системы x=Ax.

Лекция 22. Функция Ляпунова и теоремы Ляпунова (об устойчивости и асимптотической устойчивости). Одномерные и двумерные примеры.

Лекция 23. Теорема об асимптотической устойчивости неподвижной точки по линейному приближению. Пример: положения равновесия математического маятника.

Лекция 24-26. Начала теории динамических систем. α- и ω- предельные множества и их простейшие свойства для ограниченной полутраектории (непустота, компактность, связность, инвариантность относительно потока). Примеры: неподвижные точки, циклы. Отображение последования Пуанкаре. Теория Пуанкаре-Бендиксона о структуре предельных множеств на плоскости. Теорема об изолированных циклах на плоскости (с помощью исследования отображения последования Пуанкаре).

Лекция 27-28. Начала аналитической теории дифференциальных уравнений. Аналитичная правая часть. Комплесификация. Теорема Коши об аналитичности решения ОДУ. Изолированные особые точки аналитических ОДУ. Монодромия. Метод Фробениуса. Пример: уравнение Эйлера.

Лекция 29-30. Начала теории уравнений в частных производных. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно первой производной. Пространство 1-струй и контактная геометрия. Дискриминантная кривая. Пример: уравнения Клеро и преобразование Лежандра. Уравнения в частных производных первого порядка F(x,u(x),u'(x))=0. Характеристики. Общий вид решения. Пример: уравнений эйконала, каустика эллипса.

Лекция 31-32. Начала группового анализа Ли. Группа симметрий, ее инфентизимальный генератор, теорема о полном наборе инвариантов группы. Дифференциальное продолжение действия группы. Группа Галилея. Применение к уравнениям первого и второго порядков.

Литература

1. Филиппов, А.Ф. "Введение в теорию дифференциальных уравнений".
2. Арнольд, В.И. "Обыкновенные дифференциальные уравнения".
3. Арнольд, В.И. "Геометрические методы в теории обыкновенные дифференциальных уравнений".
4. Ибрагимов, Н.Х. "Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений".
5. Капустина, Т.О., Чечкин Г.А., Чечкина, Т.П. "Конспекты лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям".

Вложения

• Отчетность по курсу: в течении курса студентам будет предложен ряд теоретических заданий, необходимых для усвоения материала. Примеры заданий.

Дополнительная информация

Отчетность по курсу (-ам): в течении курса студентам будет предложен ряд теоретических заданий, необходимых для усвоения материала. Примеры заданий:

1. ПустьP_n– пространство многочленов от t степени меньше n. Вычислить экспоненту от оператора d/dt:P_n→P_n

2. Постройте фазовый портрет на плоскости (x,p) системы x ˙=sgnpp ˙=x. Опишите все решения, проходящие через начало координат.

3. Дано линейное ОДУ x ˙=A(t)xна линейном пространствеV.Выписать линейное ОДУ на сопряженном пространстве, созраняющее операцию спаривания векторов и ковекторов.

4. Найдите асимптотику собственных значенийλуравнения Штурма x ¨+(q(t)+λ)x=0с краевыми условиями x(0)=x(1)=0

5. Верно ли, что решения уравненияx ˙(t)=x(a-t)гладко зависят от параметра a?

6. В условиях теоремы об ω-предельном множестве, верно ли что ω-предельное множество является линейно связным?