ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова

Главной особенностью новой специализации является сочетание сильной математической подготовки с уклоном в современные курсы теоретической физики, обучение студентов физическому взгляду на задачи и необходимому для понимания языка физических теорий математическому аппарату. 

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)-1,2

Автор программы курса: Локуциевский Лев Вячеславович

Аннотация

Данный курс представляет из себя углубленное введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Структура курса построена таким образом, чтобы выявить глубокие связи теории дифференциальных уравнений со остальными фундаментальными разделами математики: анализом, геометрией и алгеброй. Помимо классических результатов без которых невозможен ни один курс по обыкновенным уравнениям, программа включает в себя начала трех дисциплин, естественно вытекающих из курса: теорию динамических систем, уравнения в частных производных и групповой анализ Ли. В курсе будет предложено большое важных примеров.

Необходимые базовые знания для прохождения курса

Анализ: пределы, непрерывность, дифференцируемость, интеграл Римана, функции многих переменных, равномерная сходимость. Для второй части также необходимы основы комплексного анализа.

Геометрия: метрические пространства, открытость/замкнутость/компактность/связность, непрерывность, полнота. Для второй части также необходимы гладкие многообразия, дифференциальные формы.

Алгебра: линейные пространства и линейные отображения, базис, определитель, сопряженные пространства, характеристический многочлен, жорданова нормальная форма.

План курса

Лекция 1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения в конечномерном линейном пространстве V. Фазовое пространство, расширенное фазовое пространство. Разрешение относительно производной. Два определения решения: классическое и по Пикару, их эквивалентность в непрерывном случае. Инвариантность решения относительно замен координат. Примеры: одномерная экспонента, радиоактивные изотопы.

Лекция 2. Теорема о локальном существовании и единственности решения ОДУ (теорема Пикара для задачи Коши). Примеры: метод Эйлера, математический маятник, примеры отсутствия единственность или существования.

Лекция 3-4. Теорема о повышении гладкости решения ОДУ. Первые способы явного нахождения решений. (a) Разделение переменных: f(x) dx=g(y) dy. (b) Полный дифференциал: решение P(x,y) dx+Q(x,y) dy=0 и интегрирующий множитель. (c) Линейное однородное и неоднородные уравнения с одной переменной. (d) Метод интегрирующего множителя. (e) Обобщенно однородные уравнения. (f) Производная вдоль решений ОДУ. Первые интегралы. Примеры для каждого из методов.

Лекция 5. Теорема о глобальная единственности, включая решения вдоль границы (основанная на лемме Гронуолла). Теорема о непродолжимом решении.

Лекция 6. Теорема о продолжении решения ОДУ до границы замкнутой области или пока не убежит на бесконечность. Следствие: интегральные кривые не пересекаются и заполняют область в расширенном фазовом пространстве. Достаточное условие полноты векторного поля. Пример неполного векторного поля на плоскости.

Лекция 7-8. Линейные системы на линейном конечномерном пространстве. Теорема о структуре решений линейного однородного ОДУ (продолжимость решений на всю прямую, линейная структура пространства решений, его размерность). Поток такого уравнения и его свойства. Пример: вычисление ∫_(-∞)^(-∞)▒cos  x⁄((1+x^2 ) ) dx.

Лекция 9. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Формулы Якоби и Остроградского–Лиувилля. Пример: линейные уравнения одного переменного высших порядков. Решение линейных неоднородных уравнений, за счет выпрямления поля в подвижном базисе, общая формула для решения. Линейные неоднородные уравнения и методы решения. Пример: вынужденные колебания.

Лекция 10-11. Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Операторная экспонента и ее свойства. Присоединенные действия ad и Ad и их связь с операторной экспонентой. Пример: формула Кэмпбелла-Хаусдорфа для простейшего случая [A,B]=A.

Лекция 12. Линейные ОДУ высшего порядка с одной неизвестной. Характеристический многочлен. Комплексификация такого уравнения. Общая формула решения в комплексном и действительном случаях. Общая формула для решений линейного не однородного уравнений высших порядков.

Лекция 13. Теорема сравнения Штурма: канонический вид, нахождение общего решения с помощью одного частного, теорема сравнения Штурма. Пример: малые стационарные колебания струны.

Лекция 14. Теорема о непрерывной зависимости решения ОДУ от правой части и начального условия. Теорема о непрерывности решения по параметру.

Лекция 15-16. Теорема о производной решения ОДУ по параметру. Уравнение в вариациях. Пример: фазовый портрет физического маятника и его линеаризации в окрестности обоих положений равновесия. Теорема о гладкой зависимости решения от параметра.

Лекция 17. Автономные системы и векторные поля. Теорема об изменении векторного поля при замене координат. Отображение потока и его свойства (групповое свойство, гладкость, связь с уравнением в вариациях). Пример: система Лотки-Вольтерра.

Лекция 18-19. Теорема о выпрямлении поля и следствие о существовании полного набора первых интегралов. Примеры выпрямления поля. Невозможность выпрямления в окрестности неподвижной точки.

Лекция 20. Пример: классификация неподвижных точек двумерной системы (седло, узел, фокус, центр, и вырожденные).

Лекция 21. Неподвижные точки векторных полей. Устойчивости (по Ляпунову, асимптотическая). Пример диполя на сфере. Теорема о необходимых и достаточных условиях устойчивости/асимптотической устойчивости линейной системы x=Ax.

Лекция 22. Функция Ляпунова и теоремы Ляпунова (об устойчивости и асимптотической устойчивости). Одномерные и двумерные примеры.

Лекция 23. Теорема об асимптотической устойчивости неподвижной точки по линейному приближению. Пример: положения равновесия математического маятника.

Лекция 24-26. Начала теории динамических систем. α- и ω- предельные множества и их простейшие свойства для ограниченной полутраектории (непустота, компактность, связность, инвариантность относительно потока). Примеры: неподвижные точки, циклы. Отображение последования Пуанкаре. Теория Пуанкаре-Бендиксона о структуре предельных множеств на плоскости. Теорема об изолированных циклах на плоскости (с помощью исследования отображения последования Пуанкаре).

Лекция 27-28. Начала аналитической теории дифференциальных уравнений. Аналитичная правая часть. Комплесификация. Теорема Коши об аналитичности решения ОДУ. Изолированные особые точки аналитических ОДУ. Монодромия. Метод Фробениуса. Пример: уравнение Эйлера.

Лекция 29-30. Начала теории уравнений в частных производных. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно первой производной. Пространство 1-струй и контактная геометрия. Дискриминантная кривая. Пример: уравнения Клеро и преобразование Лежандра. Уравнения в частных производных первого порядка F(x,u(x),u'(x))=0. Характеристики. Общий вид решения. Пример: уравнений эйконала, каустика эллипса.

Лекция 31-32. Начала группового анализа Ли. Группа симметрий, ее инфентизимальный генератор, теорема о полном наборе инвариантов группы. Дифференциальное продолжение действия группы. Группа Галилея. Применение к уравнениям первого и второго порядков.

Литература

  1. Филиппов, А.Ф. "Введение в теорию дифференциальных уравнений".
  2. Арнольд, В.И. "Обыкновенные дифференциальные уравнения".
  3. Арнольд, В.И. "Геометрические методы в теории обыкновенные дифференциальных уравнений".
  4. Ибрагимов, Н.Х. "Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений".
  5. Капустина, Т.О., Чечкин Г.А., Чечкина, Т.П. "Конспекты лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям".

Вложения

Дополнительная информация

Отчетность по курсу (-ам): в течении курса студентам будет предложен ряд теоретических заданий, необходимых для усвоения материала. Примеры заданий:

1. ПустьP_n– пространство многочленов от t степени меньше n. Вычислить экспоненту от оператора d/dt:P_n→P_n

2. Постройте фазовый портрет на плоскости (x,p) системы x ˙=sgnpp ˙=x. Опишите все решения, проходящие через начало координат.

3. Дано линейное ОДУ x ˙=A(t)xна линейном пространствеV.Выписать линейное ОДУ на сопряженном пространстве, созраняющее операцию спаривания векторов и ковекторов.

4. Найдите асимптотику собственных значенийλуравнения Штурма x ¨+(q(t)+λ)x=0с краевыми условиями x(0)=x(1)=0

5. Верно ли, что решения уравненияx ˙(t)=x(a-t)гладко зависят от параметра a?

6. В условиях теоремы об ω-предельном множестве, верно ли что ω-предельное множество является линейно связным?

2022/2023


весенний, осенний


обязательный


2 курс

закрыть

Форма обратной связи