Динамические системы

Авторы программы курса: Локуциевский Лев Вячеславович, Богаевский Илья Александрович

Аннотация

В курсе будет освещены основные направления теории динамических систем: структурная устойчивость, энтропии, эргодичность, локальная теория динамических систем, гиперболические системы и хаос. Курс снабжен набором важных иллюстративных примеров.

Необходимые базовые знания для прохождения курса.

Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Курс теории меры Лебега.

План курса

Лекции 1-3. Первые определения и примеры. Определение динамических систем с дискретным и непрерывным временем. Поток векторного поля как динамическая система с непрерывным временем. Примеры сведения систем с непрерывным временем к системам с дискретным временем: сдвиг вдоль потока на фиксированное время, линейные системы с периодическими коэффициентами, отображение последования Пуанкаре вдоль цикла. Простейшие асимптотические свойства: α- и ω- предельные множества, периодические точки. Первые примеры динамических систем (с описанием α- и ω- предельных множеств, и число периодических точек): сжимающее отображение, линейные отображения, повороты окружности и сдвиги на торе (определение топологической транзитивности), линейные поток на торе, градиентный поток, растягивающие отображения окружности (эффект бабочки), отображение кошки Арнольда.  Перекладывание отрезков.

Лекции 4-5. Структурная устойчивость. Сопряженность динамических систем (гладкая и топологическая). Структурная устойчивость. Фактор динамической системы. Примеры: топологическая классификация растягивающих отображений окружности с помощью кодирования; подкова Смейла и сдвиг Бернулли на 0,1 последовательностях; отображение пекаря; гиперболические системы и их устойчивость на примере устойчивости кошки Арнольда.

Лекции 6-7. Энтропия и эргодичность.Топологическая энтропия: 3 эквивалентных определения; простейшие свойства топологической энтропии. Примеры: растягивающее отображение окружности, топологические цепи Маркова, топологическая энтропия кошки Арнольда. Теорема о конечности энтропии липшицевых отображений.

Лекция 8. Энтропия и эргодичность.Возвращения: множества рекуррентных точек, неблуждающих точек, аттрактор и их связь друг с другом и α- и ω- предельными множествами. Теорема о непустоте множества рекуррентных точек на компакте.

Лекции 9-11. Энтропия и эргодичность.Инвариантные меры: теорема Крылова-Боголюбова о существовании инвариантной меры; теорема Пуанкаре о возвращении. Эргодические меры и эргодическая теорема Биркгофа. Теорема о крайних точках множества инвариантных мер. Строгая эргодичность. Существование эргодической меры. Примеры: повороты окружности (теорема Кронекера-Вейля), растягивающие отображения окружности, гиперболический автоморфизм тора, символическая динамика и меры Бернулли. Метрическая энтропия: определение, простейшие свойства, примеры. Вариационный принцип, связь со множеством неблуждающих точек. Связь с 0-1 законом Колмогорова (эргодичность сдвига Бернулли).

Лекции 12-14. Локальная теория. Гиперболические неподвижные точки. Теорема Адама-Перрона. Теорема Гробмана-Хартмана.

Лекция 15. Локальная теория.Нормальные формы. Теорема Пуанкаре о формальной замене координат при резонансах). Бифуркации Хопфа-Андронова и седло-узел.

Лекции 16. Структурная устойчивость. Локальная структурная устойчивость гиперболической точки. Описание полулокальной гиперболической динамики при трансверсальной гомоклинической точке  (без доказательства) и ее структурная устойчивость. Теорема Понтрягина-Андронова (без доказательства).

Лекция 17. Хаос. Странный аттрактор и аттрактор Лоуренца. Теория Шарковского для отрезка. Логистическое отображение, удвоение периода, константа Фейгенбаума.

Литература

1. Каток A.Б., Хасселблат Б., "Введение в современную теорию динамических систем", 1999.

2. Арнольд В.И., "Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений."