Классическая механика

Автор программы курса: Соколов Сергей Викторович

Преподаватель: Зобова Александра Александровна

Аннотация

Курс посвящен изложению основных принципов, задач и методов классической механики. Рассматривается ньютонова, лагранжева и гамильтонова механика. Особое внимание уделено математическому аппарату классической механики. Большая часть курса посвящена аналитической динамике и вариационным принципам. Обсуждаются группы симметрий механических систем и отвечающие им законы сохранения.

Необходимые базовые знания для прохождения курса.

Для успешного освоения курса необходимы сведения из стандартных курсов анализа, алгебры, аналитической и дифференциальной геометрии, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Желательно знакомство с аппаратом внешних дифференциальных форм, элементами вариационного исчисления.

План курса

Лекция 1. Аксиоматика классической механики. Принцип относительности и детерминированности. Группа Галилея. Законы Ньютона.

Лекция 2. Системы с малым числом степеней свободы. Кинетический момент. Центральное силовое поле.

Лекция 3. Вариационное исчисление. Уравнения Лагранжа. Преобразования Лежандра. Уравнения Гамильтона.

Лекция 4. Теорема Лиувилля. Теорема Пуанкаре о возвращении.

Лекция 5. Связи. Конфигурационное пространство. Лагранжева динамическая система.

Лекция 6. Теорема Нётер. Принцип Даламбера-Лагранжа.

Лекция 7. Колебания. Линеаризация. Нормальные координаты.

Лекция 8. Динамика твердого тела. Силы инерции. Уравнения Эйлера. Углы Эйлера. Случай Лагранжа.

Лекция 9. Дифференциальные формы. Внешнее умножение. Внешнее дифференцирование. Формула Стокса.

Лекция 10. Симплектическое многообразие. Гамильтоновы фазовые потоки. Интегральные инварианты. Алгебра Ли функций Гамильтона.

Лекция 11. Симплектическая геометрия. Теорема Дарбу.

Лекция 12. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Канонические преобразования.

Лекция 13. Метод Гамильтона-Якоби. Производящие функции.

Лекция 14. Интегрируемые системы. Теорема Лиувилля.

Лекция 15. Переменные действие-угол. Усреднение.

Лекция 16. Усреднение возмущений. Адиабатические инварианты.

Литература

1. Арнольд В.И., "Математические методы классической механики." М.: Ленанд, 2017.
2. Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В., "Теоретическая механика." М.: Издательский центр «Академия», 2010.R.
3. Гантмахер Ф.Р., "Лекции по аналитической механике." М.: Физматлит, 2002.
4. Abraham, J.E. Marsden, "Foundations of Mechanics." Addison-Wesley Publishing Company, 1987.

Дополнительная литература

1. Козлов В.В., "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике." Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995.
2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., "Математические аспекты классической и небесной механики." М.: Эдиториал УРСС, 2002.
3. Голдстейн Г., Пул Ч., Сафко Д., "Классическая механика." ИКИ, 2012.
4. Маркеев А.П., "Теоретическая механика." Москва – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.
5. Журавлёв В.Ф., "Основы теоретической механики." 2-е изд. – М.: Физматлит, 2001; 3-е изд. – М.: Физматлит, 2008.
6. Арнольд В.И., "Обыкновенные дифференциальные уравнения." М.: Изд-во МЦНМО, 2018.
7. Арнольд В.И., "Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений." М.: Изд-во МЦНМО, 2012.

Дополнительная информация

В рамках семинарских занятий слушателям будут предложены теоретические задания, выполнение которых необходимо для успешного освоения курса.