Линейная алгебра и геометрия

Автор программы курса: Панов Тарас Евгеньевич

Преподаватель: Тимашёв Дмитрий Андреевич

Аннотация

Современный курс линейной алгебры, в котором подчеркивается геометрическая сущность рассматриваемых объектов. Является ключевой частью как алгебраической, так и геометрической вертикали курсов программы Фундаментальная математика и математическая физика МГУ им. М.В.Ломоносова. При подготовке курса лекций использовались как классические учебники Гельфанда, Кострикина-Манина и Постникова, так и более современные методические наработки преподавания линейной алгебры и геометрии на кафедрах высшей алгебры и высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ.

План курса

Часть 1. Линейные пространства.

1. Линейные пространства и подпространства. Примеры.

2. Линейная зависимость, базис, размерность.

3. Пересечение и сумма подпространств, их размерности.

4. Прямая сумма подпространств, эквивалентные определения. Внешняя прямая сумма.

5. Факторпространство. Размерность факторпространства.

6. Координаты вектора. Закон изменения координат при замене базиса.

7. Линейные отображения и изоморфизмы. Ядро и образ, их размерности.

8. Матрица линейного отображения. Преобразование матрицы линейного отображения при заменах базисов.

9. Двойственное пространство V*, двойственный базис. Отсутствие изоморфизма между V и V* в бесконечномерном случае (пример).

10. Второе двойственное пространство, канонический изоморфизм между V и V**.

11. Сопряжённое линейное отображение, его матрица.

Часть 2. Линейные операторы.

12. Матрица линейного оператора. Определитель и след оператора. Невырожденные операторы. Группы GL(n) и SL(n).

13. Проекторы, их алгебраическая характеризация.

14. Многочлены от оператора. Минимальный аннулирующий многочлен.

15. Овеществление пространства и оператора.

16. Оператор комплексной структуры. Комплексификация пространства и оператора.

17. Инвариантное подпространство. Ограничение оператора и фактор-оператор. Вид матрицы оператора в соответствующем базисе. Собственные значения, собственные векторы.

18. Характеристический многочлен. Связь размерности собственного подпространства и кратности соответствующего ему корня характеристического многочлена.

19. Теорема о существовании одномерного или двумерного инвариантного подпространства.

20. Теорема Гамильтона-Кэли.

21. Диагонализируемые операторы. Критерий диагонализируемости.

22. Нильпотентные операторы. Нормальный вид.

23. Корневые векторы. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств.

24. Жорданова нормальная форма оператора. Теорема Жордана.

25. Вычисление многочленов и функций от матриц при помощи жордановой формы

и метода интерполяции.

26. Экспонента линейного оператора, её свойства.

Часть 3. Геометрия евклидовых и эрмитовых пространств.

27. Аффинные пространства, системы координат, подпространства.

28. Евклидовы и эрмитовы пространства, примеры. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника.

29. Ортогональные системы векторов, ортонормированные базисы. Ортогонализация

Грама-Шмидта.

30. Ортогональные и унитарные матрицы. QR-разложение.

31. Ортогональное дополнение. Проекция и ортогональная составляющая. Угол между вектором и подпространством.

32. Аффинные евклидовы пространства. Расстояние от точки до подпространства. Расстояние между подпространствами.

33. Определитель матрицы Грама и многомерный объём.

34. Метод наименьших квадратов.

35. Изоморфизмы евклидовых и эрмитовых пространств. Канонический изоморфизм евклидова пространства и его сопряжённого.

Часть 4. Операторы в евклидовых и эрмитовых пространствах.

36. Cопряжённые операторы в евклидовых и эрмитовых пространствах.

37. Самосопряжённые операторы. Канонический вид.

38. Самосопряжённые проекторы. Спектральное разложение самосопряжённого оператора.

39. Кососимметрические и косоэрмитовы операторы. Канонический вид. Эрмитово разложение.

40. Ортогональные и унитарные операторы. Канонический вид. Группы O(n) и SO(n), U(n) и SU(n).

41. Положительные самосопряжённые операторы. Полярное разложение.

42. Нормальные операторы, связь с диагонализируемостью в ортонормированном базисе.

Часть 5. Билинейные и полуторалинейные функции.

43. Билинейные и полуторалинейные функции, их матрицы. Закон изменения матрицы при замене базиса. Канонический изоморфизм пространства билинейных функций и пространства Hom(V,V*).

44. Симметрические, кососимметрические и эрмитовы функции. Квадратичные формы.

45. Нормальный вид симметрических билинейных функций и квадратичных форм (теорема Лагранжа).

46. Нормальный вид эрмитовых полуторалинейных функций.

47. Закон инерции. Единственность нормального вида.

48. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра.

49. Симметрические билинейные функции в евклидовых пространствах. Канонический вид.

50. Приведение пары форм к диагональному виду. Собственные значения и собственные векторы пары форм.

51. Нормальный вид кососимметрических билинейных функций.

52. Симплектические пространства. Лагранжевы подпространства. Существование дополнительного лагранжева подпространства.

53. Пространства с обобщённым скалярным произведением. Группы операторов. Псевдоевклидовы пространства.

Часть 6. Тензоры.

54. Полилинейные функции.

55. Тензоры: координатное определение.

56. Тензорное произведение, свёртка, опускание и поднятие индексов.

57. Базис в пространстве тензоров.

58. Симметрические и кососимметрические тензоры, симметризация и альтернирование.

59. Внешнее произведение кососимметрических тензоров, внешние формы.

Литература

1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. 2-е изд., испр. и доп. Москва, “Факториал Пресс’’, 2001. 

2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. Москва, «Наука» 1974.

3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. Москва, «Наука», 1986.

4. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра. Москва, «Наука», 1986.

Дополнительная информация

Текст лекций, план курса, список теоретических задач и другие материалы доступны на странице Т.Е. Панова на сайте кафедры высшей геометрии и топологии.