Основы теории Ли

Авторы программы курса: Жеглов Александр Борисович, Тимашёв Дмитрий Андреевич

Аннотация

Теория групп и алгебр Ли – красивая классическая теория, имеющая множество приложений, особенно в современных физических теориях. В курсе будут изложены основы теории групп и алгебр Ли над полями R и C.

Концепция группы Ли сочетает две фундаментальные идеи математики и естествознания – непрерывности и симметрии. Теория групп Ли основана на взаимодействии глобального подхода с инфинитезимальным, который сводит многие вопросы к изучению линейных структур – алгебр Ли. Систематическому развитию теории Ли посвящен данный курс.

Необходимые базовые знания для прохождения курса:

Необходимо владение материалом курсов алгебры 1–4 семестров, линейной алгебры и геометрии 1–2 семестров, анализа 1–3 семестров, геометрии 3 семестра, обыкновенных дифференциальных уравнений 3–4 семестров.

План курса

Лекция 1.  Определение группы Ли, основные примеры, конструкции.  Алгебры Ли, алгебры Ли группы Ли, 2 определения.

Лекция 2.  Морфизмы групп Ли и индуцированные морфизмы алгебр Ли. Подгруппы Ли, их замкнутость.

Лекция 3. Действия группы Ли на многообразии. Теорема о действии. Следствия теоремы о действии: стабилизаторы и орбиты, конструкции представлений групп Ли, индуцированные представления алгебр Ли, присоединенное представление.  Группа Ли автоморфизмов конечномерной алгебры и алгебра Ли её дифференцирований.

Лекция 4. Теорема Годемана. Фактор-группы Ли.

Лекция 5. Следствия теоремы Годемана: транзитивные действия, прообразы подгрупп Ли при гомоморфизмах, пересечения подгрупп Ли. Пример: конструкция компактной симплектической группы Ли.

Лекция 6. Однопараметрические подгруппы. Экспоненциальное отображение. Связь с экспоненциальным отображением в дифференциальной геометрии.

Лекция 7. Дифференциальные уравнения на группе Ли. Восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу. Централизаторы и центры в группах Ли и их алгебрах Ли, нормализаторы подгрупп Ли и подалгебр Ли.  Связь свойств линейного представления группы Ли и его дифференциала.

Лекция 8. Первая теорема Ли: интегрирование гомоморфизмов алгебр Ли,  эквивалентность категорий односвязных групп Ли и их алгебр Ли.

Лекции 9.  Односвязная накрывающая и фундаментальная группа группы Ли. Точная гомотопическая последовательность расслоения группы Ли над однородным пространством. Исследование связности и вычисление фундаментальных групп классических линейных групп Ли. Пример нелинейной группы Ли (односвязная накрывающая группы SL2(R)).

Лекции 10. Коммутанты и разрешимость групп Ли и алгебр Ли. Теоремы Ли и Энгеля.

Лекция 11. Комплексификация и вещественные формы алгебр Ли и групп Ли. Радикал. Полупростые алгебры Ли и группы Ли. Простота алгебры Ли sln.

Лекция 12. Инвариантные скалярные умножения на алгебрах Ли, форма Киллинга. Критерий Картана разрешимости.

Лекция 13.  Критерий Картана полупростоты алгебры Ли.  Структура полупростых алгебр Ли (разложение в прямую сумму простых идеалов).

Лекция 14. Элемент и оператор Казимира. Теорема Вейля о полной приводимости линейных представлений полупростой алгебры Ли. Все дифференцирования полупростой алгебры Ли — внутренние. Существование полупростой группы Ли с заданной алгеброй Ли.

Лекция 15.  Теорема Леви. Конструкция полупрямых произведений групп и алгебр Ли. Вторая теорема  Ли.

Лекция 16.  Третья теорема Ли. Теорема  Картана.

Литература

1. Винберг, Э.Б., Онищик, А.Л.,  "Семинар по группам Ли и алгебраическим группам." Наука, М. 1988
2. Ж.-П. Серр, "Алгебры Ли и группы Ли." Мир, Москва, 1969
3. Н. Бурбаки, "Группы и алгебры Ли."  Мир, Москва (1978).
4. Ф. Уорнер, "Основы теории гладких многообразий и групп Ли." М., Бибфизмат, 1987.