ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова

Главной особенностью новой специализации является сочетание сильной математической подготовки с уклоном в современные курсы теоретической физики, обучение студентов физическому взгляду на задачи и необходимому для понимания языка физических теорий математическому аппарату. 

Функциональный анализ-2

Автор программы курса: Богачев Владимир Игоревич

Аннотация

Курс функционального анализа является базовым курсом и призван познакомить слушателей с теорией обобщенных функций, пространствами Соболева, преобразованием Фурье обычных и обобщенных функций и его применением к решению дифференциальных уравнений с частными производными, с основами спектральной теории линейных операторов в банаховых и гильбертовых пространствах, в том числе для компактных и для самосопряженных операторов. Эти знания необходимы для освоения современной теории вероятностей, теории случайных процессов, теории уравнений с частными производными и математической физики. В шестом семестре изучаются основы теории локально выпуклых пространств, теория обобщенных функций, преобразование Фурье в пространствах квадратично интегрируемых функций и в пространстве обобщенных функций, классы Соболева интегрируемых функций с интегрируемыми обобщенными производными, спектры общих операторов в банаховых пространствах, строение компактных, самопряженных и унитарных операторов, применения к интегральным уравнениям. В результате освоения курса слушатели научатся обращаться с самосопряженными, компактными и унитарными операторами, обобщенными функциями, работать с преобразованием Фурье обобщенных функций.  

Необходимые базовые знания для прохождения курса.

Предполагается, что слушатели освоили курсы анализа первых четырех семестров и курс функционального анализа пятого семестра.

План курса

Лекции 1 – 3. Локально выпуклые пространства и обобщенные функции. Понятие о локально выпуклом пространстве. Примеры. Пространства D и S и сходимость в них. Обобщенные функции классов D' и S'. Производная обобщенной функции. Носитель и сингулярный носитель.

Лекции 4 – 5.   Преобразование  Фурье  интегрируемых функций. Основные свойства преобразования  Фурье  интегрируемых функций  (непрерывность, ограниченность, производная преобразования Фурье, преобразование Фурье производной). Формула обращения для преобразования Фурье в случае интегрируемого преобразования Фурье. Формула обращения в точках дифференцируемости. Преобразование Фурье в S и его непрерывность.

Лекции 6 – 7.   Преобразование  Фурье  квадратично интегрируемых функций. Равенство Парсеваля для интегралов Фурье. Инъективность преобразования Фурье. Полнота системы функций Эрмита. Преобразование  Фурье квадратично интегрируемых функций и теорема Планшереля. Вейвлеты.

Лекция 8. Преобразование Фурье обобщенных функций. Преобразование Фурье  в S'. Преобразование Фурье дельта-функции.Согласованность преобразований Фурье в разных пространствах. 

Лекция 9.  Дифференциальные уравнения с обобщенными функциями. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами в D’ и S’. Теоремы Хёрмандера и Мальгранжа – Эренпрайса. Свертка  интегрируемых функций. Свертка обычной и обобщенной функций. Использование преобразования Фурье и свертки для  решения дифференциальных уравнений.

Лекция 10. Пространства Соболева.  Пространства С.Л. Соболева и их характеризация через пополнение по соболевской норме. Описание пространств Соболева функций с квадратично интегрируемыми производными через преобразование Фурье. Теоремы вложения.

Лекция 11. Спектр оператора. Сохранение обратимости при малых возмущениях. Замкнутость спектра,  включение его в круг радиуса, равного норме оператора, и непустота. Спектр диагонального оператора. Норма и спектр оператора умножения на функцию. Понятие о банаховой алгебре.

Лекция 12. Спектр компактного оператора. Строение спектра компактного оператора в бесконечномерном пространстве. Альтернатива Фредгольма.

Лекции 13 – 14. Самосопряженные и унитарные операторы. Самосопряженный оператор и его квадратичная форма. Критерий Вейля и вещественность спектра самосопряженного оператора. Равенство нормы самосопряженного оператора A максимальному модулю точек его спектра и супремуму модуля его квадратичной формы на единичном шаре. Теорема Гильберта – Шмидта о компактных самосопряженных операторах.Унитарные операторы и унитарная  эквивалентность  операторов. Спектр  оператора  преобразования  Фурье  и спектр оператора свертки.

Лекции 15 – 17. Спектральная теорема. Теорема об отображении спектров для многочленов. Непрерывные функции от самосопряженных операторов и равенство нормы многочлена f от самосопряженного оператора A максимуму модуля f на спектре A. Циклические векторы. Эквивалентность самосопряженного оператора с циклическим вектором  оператору умножения на аргумент. Эквивалентность общего самосопряженного оператора  оператору умножения на  функцию. Борелевские функции от самосопряженных операторов. Приведение к виду умножения на функцию унитарных операторов.

Лекция 18. Проекторнозначные меры. Проекторы и проекторнозначные меры. Представление самосопряженного оператора в виде интеграла по проекторнозначной мере. Явное вычисление спектральной меры для оператора умножения на аргумент и для проектора. Понятие о неограниченном самосопряженном операторе.

Литература

1. Богачев В.И., "Функциональный анализ." М.: ПСТГУ, 2011. – 396 c.

2. Богачев В.И., Смолянов О.Г., "Действительный и функциональный анализ: университетский курс." 3-е изд., испр. и доп. – М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2021. — 756 с.

3. Бородин П.А., Савчук А.М., Шейпак И.А., "Задачи по функциональному анализу." М.: МЦНМО, 2017. – 336 с.

4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., "Элементы теории функций и функционального анализа." Изд. 4-е. – М.: Наука, 1976. – 544 с.

5.  Рид М., Саймон Б., "Методы современной математической физики." Т. 1. "Функциональный анализ." М.: Мир, 1977. – 359 c.

6. Рид М., Саймон Б., "Методы современной математической физики." Т. 2. "Гармонический анализ. Самосопряженность." М.: Мир, 1978. – 396 c.

7. Федоров В.М., "Курс функционального анализа." СПб.: Лань, 2005. – 352 с.

8. Хелемский А.Я., "Лекции по функциональному анализу." 2-е изд. М.: МЦНМО, 2014. – 560 c.

2023/2024


весенний


обязательный


3 курс

закрыть

Форма обратной связи