Функциональный анализ-2
Автор программы курса: Богачев Владимир Игоревич
Аннотация
Курс функционального анализа является базовым курсом и призван познакомить слушателей с теорией обобщенных функций, пространствами Соболева, преобразованием Фурье обычных и обобщенных функций и его применением к решению дифференциальных уравнений с частными производными, с основами спектральной теории линейных операторов в банаховых и гильбертовых пространствах, в том числе для компактных и для самосопряженных операторов. Эти знания необходимы для освоения современной теории вероятностей, теории случайных процессов, теории уравнений с частными производными и математической физики. В шестом семестре изучаются основы теории локально выпуклых пространств, теория обобщенных функций, преобразование Фурье в пространствах квадратично интегрируемых функций и в пространстве обобщенных функций, классы Соболева интегрируемых функций с интегрируемыми обобщенными производными, спектры общих операторов в банаховых пространствах, строение компактных, самопряженных и унитарных операторов, применения к интегральным уравнениям. В результате освоения курса слушатели научатся обращаться с самосопряженными, компактными и унитарными операторами, обобщенными функциями, работать с преобразованием Фурье обобщенных функций.
Необходимые базовые знания для прохождения курса.
Предполагается, что слушатели освоили курсы анализа первых четырех семестров и курс функционального анализа пятого семестра.
План курса
Лекции 1 – 3. Локально выпуклые пространства и обобщенные функции. Понятие о локально выпуклом пространстве. Примеры. Пространства D и S и сходимость в них. Обобщенные функции классов D' и S'. Производная обобщенной функции. Носитель и сингулярный носитель.
Лекции 4 – 5. Преобразование Фурье интегрируемых функций. Основные свойства преобразования Фурье интегрируемых функций (непрерывность, ограниченность, производная преобразования Фурье, преобразование Фурье производной). Формула обращения для преобразования Фурье в случае интегрируемого преобразования Фурье. Формула обращения в точках дифференцируемости. Преобразование Фурье в S и его непрерывность.
Лекции 6 – 7. Преобразование Фурье квадратично интегрируемых функций. Равенство Парсеваля для интегралов Фурье. Инъективность преобразования Фурье. Полнота системы функций Эрмита. Преобразование Фурье квадратично интегрируемых функций и теорема Планшереля. Вейвлеты.
Лекция 8. Преобразование Фурье обобщенных функций. Преобразование Фурье в S'. Преобразование Фурье дельта-функции.Согласованность преобразований Фурье в разных пространствах.
Лекция 9. Дифференциальные уравнения с обобщенными функциями. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами в D’ и S’. Теоремы Хёрмандера и Мальгранжа – Эренпрайса. Свертка интегрируемых функций. Свертка обычной и обобщенной функций. Использование преобразования Фурье и свертки для решения дифференциальных уравнений.
Лекция 10. Пространства Соболева. Пространства С.Л. Соболева и их характеризация через пополнение по соболевской норме. Описание пространств Соболева функций с квадратично интегрируемыми производными через преобразование Фурье. Теоремы вложения.
Лекция 11. Спектр оператора. Сохранение обратимости при малых возмущениях. Замкнутость спектра, включение его в круг радиуса, равного норме оператора, и непустота. Спектр диагонального оператора. Норма и спектр оператора умножения на функцию. Понятие о банаховой алгебре.
Лекция 12. Спектр компактного оператора. Строение спектра компактного оператора в бесконечномерном пространстве. Альтернатива Фредгольма.
Лекции 13 – 14. Самосопряженные и унитарные операторы. Самосопряженный оператор и его квадратичная форма. Критерий Вейля и вещественность спектра самосопряженного оператора. Равенство нормы самосопряженного оператора A максимальному модулю точек его спектра и супремуму модуля его квадратичной формы на единичном шаре. Теорема Гильберта – Шмидта о компактных самосопряженных операторах.Унитарные операторы и унитарная эквивалентность операторов. Спектр оператора преобразования Фурье и спектр оператора свертки.
Лекции 15 – 17. Спектральная теорема. Теорема об отображении спектров для многочленов. Непрерывные функции от самосопряженных операторов и равенство нормы многочлена f от самосопряженного оператора A максимуму модуля f на спектре A. Циклические векторы. Эквивалентность самосопряженного оператора с циклическим вектором оператору умножения на аргумент. Эквивалентность общего самосопряженного оператора оператору умножения на функцию. Борелевские функции от самосопряженных операторов. Приведение к виду умножения на функцию унитарных операторов.
Лекция 18. Проекторнозначные меры. Проекторы и проекторнозначные меры. Представление самосопряженного оператора в виде интеграла по проекторнозначной мере. Явное вычисление спектральной меры для оператора умножения на аргумент и для проектора. Понятие о неограниченном самосопряженном операторе.
Литература
1. Богачев В.И., "Функциональный анализ." М.: ПСТГУ, 2011. – 396 c.
2. Богачев В.И., Смолянов О.Г., "Действительный и функциональный анализ: университетский курс." 3-е изд., испр. и доп. – М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2021. — 756 с.
3. Бородин П.А., Савчук А.М., Шейпак И.А., "Задачи по функциональному анализу." М.: МЦНМО, 2017. – 336 с.
4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., "Элементы теории функций и функционального анализа." Изд. 4-е. – М.: Наука, 1976. – 544 с.
5. Рид М., Саймон Б., "Методы современной математической физики." Т. 1. "Функциональный анализ." М.: Мир, 1977. – 359 c.
6. Рид М., Саймон Б., "Методы современной математической физики." Т. 2. "Гармонический анализ. Самосопряженность." М.: Мир, 1978. – 396 c.
7. Федоров В.М., "Курс функционального анализа." СПб.: Лань, 2005. – 352 с.
8. Хелемский А.Я., "Лекции по функциональному анализу." 2-е изд. М.: МЦНМО, 2014. – 560 c.
