Геометрия и топология-2

Автор программы курса: Тужилин Алексей Августинович

Преподаватель: Тужилин Алексей Августинович

Аннотация

Цель лекций – сделать краткое введение в геометрию и топологию, осветив при этом ряд важных тем, которые традиционно не затрагиваются в вузовских курсах, несмотря на то, что они касаются базовых вопросов и, в явном или неявном виде, используются в различных приложениях. К таким темам относятся, например, знаменитая теорема Жордана, утверждающая, что плоская замкнутая непрерывная кривая без самопересечений разбивает евклидову плоскость на две части, или формула Эйлера для многогранника и более общих объектов, разбитых на грани разной размерности, связывающая количества этих граней. Кроме того, есть ряд красивых и важных классических тем, которые вполне понятны студентам первого курса и даже старшим школьникам, но, тем не менее, эти темы обычно не обсуждаются из-за недостатка времени. Например, можно ли разрезать многоугольник на конечное число частей, переложить эти части и таким образом получить любой заранее заданный многоугольник? А многогранник?  Кроме того, мы расскажем о разделах геометрии и топологии, которые в настоящее время все больше используются в физике, химии, биологии, лингвистике, экономике и других науках. В частности, мы изложим ряд основных теорем из начальных глав математического анализа на топологическом языке и, тем самым, покажем, какие же феномены на самом деле лежат в основании этих результатов.

План курса

Лекция 1. Комбинаторные графы, лемма о рукопожатиях, задача Эйлера, критерий эйлеровости графа, гамильтоновы графы, теорема Дирака.

Лекция 2. Топология, топологическое пространство, база топологии, метрическая топология, стандартная топология (на прямой, отрезке и в евклидовом пространстве), хаусдорфовость, последовательность в топологическом пространстве, ее сходимость и предел, единственность предела и хаусдорфовость, определение сходимости в терминах эпсилон-дельта техники, непрерывность отображения топологических пространств, эпсилон-дельта определение непрерывности для отображения метрических пространств, непрерывность и сохранение сходимости, гомеоморфизм, подмножество топологического пространства (точки прикосновения, замыкание, внутренность и граница), топологические конструкции (индуцированная топология, топология дизъюнктивного объединения, декартова произведения), непрерывная кривая в топологическом пространстве, связность (например, отрезка), теорема о промежуточном значении непрерывной функции на связном топологическом пространстве (например, на отрезке), линейная связность, неэквивалентность связности и линейной связности в общем случае, но эквивалентность в открытых подмножествах евклидова пространства (более общо, в локально линейно связных пространствах), компактность и секвенциальная компактность, их эквивалентность в метрическом пространстве, эпсилон-сеть и полная ограниченность, фундаментальная последовательность и полнота, критерий компактности подмножества евклидова пространства, ограниченность непрерывной функции на компакте и достижимость ее точных верхней и нижней граней, гомеоморфность непрерывной биекции из компактного пространства в хаусдорфово, фактор-топология, топологические графы, геометрические графы, в частности, плоские геометрические и планарные комбинаторные графы, склейки из квадрата, триангулированные поверхности.

Лекция 3. Теорема Жордана для непрерывной вложенной кривой на плоскости, скетч доказательство для случая ломаных, лемма о четырех точках на вложенной замкнутой кривой на плоскости, доказательство теоремы о том, какие из полных и полных двудольных графов являются планарными, формулировка критерия Понтрягина–Куратовского планарности графа, формула Эйлера для плоских графов.

Лекция 4. Многогранные поверхности, граф и двойственный граф многогранной поверхности, формулировка теоремы Жордана для многогранных поверхностей, многогранники.

Лекция 5. Выпуклые множества и выпуклые многогранники, планарность графа и двойственного графа выпуклого многогранника, формула Эйлера для выпуклых многогранников, ёж многогранника, теорема о свойстве ежа выпуклого многогранника, формулировка теоремы Минковского.

Лекция 6. Многомерные выпуклые многогранники, правильные многогранники, классификация правильных многогранников в пространствах произвольной размерности, платоновы тела.

Лекция 7. Элементы линейного программирования.

Лекция 8. Лемма Шпернера.

Лекция 9. Разрезание фигуры, равносоставленность, равнодополняемость, теорема Бойяи–Уолласа–Гервина, инвариант Дена, необходимое условие равносоставленности многогранников, решение третьей проблемы Гильберта.

Лекция 10. Триангулированные поверхности, их ориентация, вырезание и заклейка дырки, вклейка ручки, вклейка пленки Мебиуса, классификация триангулированных поверхностей.

Литература

1. Айнгер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. М.: Изд-во Мир, 2006.
2. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. Москва, Ленинград, Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1950.Alexandrov V. Minkowski-type and Alexandrov-type theorems for polyhedral herissons, 2002,
3. Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. Учебное пособие для вузов. -- М.: Высш. школа, 1979.
4. Берже М. Геометрия, тт. 1-2, М.: Мир, 1984.
5. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М: Наука, 1982.
6. Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Гостехиздат, 1956.
7. Болтянский В.Г. Третья проблема Гильберта. М.:Наука, 1977.
8. Вольперт А.И. Элементарное доказательство теоремы Жордана. УМН, 1950, т. 5, вып. 5(39), с. 168--172.
9. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М: ОНТИ НКТП, 1936.
10. Dehn M. Uber den Rauminhalt. Gottingen Nachr. Math. Phys., 1900, pp. 345--354; Math. Ann., 1902, v. 55, pp. 465--478.
11. Долбилин Н.П. Жемчужины теории многогранников. К— М.: МЦНМО, 2000.
12. Долбилин Н.П. Теорема Минковского о многогранниках. Квант, 2006, N 4, 3—8.
13. Долбилин Н.П. Три теоремы о выпуклых многогранниках. Квант, 2001, N 5, 7—12.
14. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения Т.1-3. Изд. 6. URSS. 2013. 920 с. .
15. Емеличев В.А. и др. Лекции по теории графов, М.: Наука, 1990.
16. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.Л. Многогранники, графы, оптимизация. М.: Наука, 1981.
17. Минковский Г. Общие теоремы о выпуклых многогранниках. Успехи мат. наук, 1936, вып. 2, 55—71.
18. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии}, Факториал Пресс, 2000.
19. Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, 2004, изд-во МЦНМО.
20. Филиппов А.Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. УМН, 1950, т. 5, вып. 5(39), с. 173—176.