Геометрия и квазиклассические асимптотики-2. Решение конкретных задач
Авторы программы курса: Назайкинский Владимир Евгеньевич, Шафаревич Андрей Игоревич
Преподаватель: Назайкинский Владимир Евгеньевич
Аннотация
Во втором семестре курса основное внимание будет уделено построению квазиклассических асимптотик в конкретных задачах – достаточно простых, чтобы решение можно было более или менее полно изложить в рамках лекций, но и достаточно характерных, чтобы слушатели, познакомившись с этими решениями, могли применять полученные знания в других задачах. Знакомство с материалами первой половины курса желательно, но не обязательно – изложение будет максимально независимым во всем, что касается того, как решать задачи, но ответ на вопрос, почему именно так, конечно, будет опираться на теоретические сведения из первого семестра. В большинстве рассмотренных примеров будет продемонстрировано, как вычисляются и визуализируются построенные асимптотические решения с помощью системы Wolfram Mathematica.
Необходимые базовые знания для прохождения курса.
Предполагается, что слушатели побывали на первом и втором курсах мехмата и в результате прошли курсы математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также дифференциальной геометрии и топологии. Желательно знакомство с азами теории функций комплексного переменного.
План курса
Примерный список задач, асимптотические решения которых будут рассмотрены на лекциях
- Задача Коши для уравнения Шредингера и формула ван Флека.
- Задача Коши для уравнения Клейна–Гордона.
- Задача Коши для уравнения Дирака для электронов в графене.
- Простейшая задача рассеяния для уравнения Шредингера.
- Задачи для одномерного волнового уравнения.
- Волновое уравнение: задача о распространении волн от локализованного источника в бассейне переменной глубины. Случаи плавно меняющейся глубины и наличия мелкомасштабных неровностей дна. Осреднение.
- Линеаризованные уравнения мелкой воды: задача о набеге волн, порожденных локализованным источником, на пологий берег («волны цунами»).
- Линеаризованные уравнения мелкой воды: задача о установившихся волнах в бассейне с пологими берегами («сейши»).
- Задача о волнах типа «шепчущей галереи»
- Волновое уравнение с движущимся источником в правой части.
- «Шашки Фейнмана» – модель движения электрона на одномерной решетке.
- Распространение волновых пакетов на однородном дереве с заданным числом ветвления и обобщенными условиями Кирхгофа в вершинах.
- Задача Коши с локализованными начальными данными для систем, гиперболических по Петровскому.
Кроме того, две или три лекции будут посвящены оставшимся за рамками первого семестра теоретическим вопросам, таким, как:
- Адиабатическое приближение в квазиклассических асимптотиках.
- Общая схема построения квазиклассических асимптотик для систем уравнений.
- Осреднение в конструкциях квазиклассических асимптотик.
Литература
Литература
- В.П. Маслов, М.В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976.
- М.В. Федорюк, Метод перевала, Наука, М., 1977.
- В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики, Мир, М., 1981.
- В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, URSS, М., 2017.
- С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, А.И. Шафаревич, “Новые интегральные представления канонического оператора Маслова в особых картах”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:2 (2017), 53–96.
- С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, “Лагранжевы многообразия и эффективные формулы для коротковолновых асимптотик в окрестности точки возврата каустики”, Матем. заметки, 108:3 (2020), 334–359.
- С.Ю. Доброхотов, Д.С. Миненков, В.Е. Назайкинский, “Представления функций Бесселя с помощью канонического оператора Маслова”, ТМФ, 208:2 (2021), 196–217.
- S.Y. Dobrokhotov, V.E. Nazaikinskii, A.I. Shafarevich, Canonical Operator on Punctured Lagrangian Manifolds. Russ. J. Math. Phys. 28, 22–36 (2021).
Дополнительная информация
Отчетность по курсу: в течение семестра студентам будет предложено выполнить практическое задание по построению квазиклассической асимптотики решения конкретной задачи методом канонического оператора и его анализу и визуализации с помощью системы Wolfram Mathematica. Завершится курс экзаменом.