Геометрия и квазиклассические асимптотики-2. Решение конкретных задач

Авторы программы курса: Назайкинский Владимир Евгеньевич, Шафаревич Андрей Игоревич

Преподаватель: Назайкинский Владимир Евгеньевич

Аннотация

Во втором семестре курса основное внимание будет уделено построению квазиклассических асимптотик в конкретных задачах – достаточно простых, чтобы решение можно было более или менее полно изложить в рамках лекций, но и достаточно характерных, чтобы слушатели, познакомившись с этими решениями, могли применять полученные знания в других задачах. Знакомство с материалами первой половины курса желательно, но не обязательно – изложение будет максимально независимым во всем, что касается того, как решать задачи, но ответ на вопрос, почему именно так, конечно, будет опираться на теоретические сведения из первого семестра.  В большинстве рассмотренных примеров будет продемонстрировано, как вычисляются и визуализируются построенные асимптотические решения с помощью системы Wolfram Mathematica.

Необходимые базовые знания для прохождения курса.

Предполагается, что слушатели побывали на первом и втором курсах мехмата и в результате прошли курсы математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также дифференциальной геометрии и топологии. Желательно знакомство с азами теории функций комплексного переменного.

План курса

Примерный список задач, асимптотические решения которых будут рассмотрены на лекциях

1. Задача Коши для уравнения Шредингера и формула ван Флека.  
2. Задача Коши для уравнения Клейна–Гордона.
3. Задача Коши для уравнения Дирака для электронов в графене.
4. Простейшая задача рассеяния для уравнения Шредингера.
5. Задачи для одномерного волнового уравнения.
6. Волновое уравнение: задача о распространении волн от локализованного источника в бассейне переменной глубины. Случаи плавно меняющейся глубины и наличия мелкомасштабных неровностей дна. Осреднение.
7. Линеаризованные уравнения мелкой воды: задача о набеге волн, порожденных локализованным источником, на пологий берег («волны цунами»).
8. Линеаризованные уравнения мелкой воды: задача о установившихся волнах в бассейне с пологими берегами («сейши»).
9. Задача о волнах типа «шепчущей галереи»
10. Волновое уравнение с движущимся источником в правой части.
11. «Шашки Фейнмана» – модель движения электрона на одномерной решетке.
12.  Распространение волновых пакетов на однородном дереве с заданным числом ветвления и обобщенными условиями Кирхгофа в вершинах.
13.  Задача Коши с локализованными начальными данными для систем, гиперболических по Петровскому. 

Кроме того, две или три лекции будут посвящены оставшимся за рамками первого семестра теоретическим вопросам, таким, как:

1. Адиабатическое приближение в квазиклассических асимптотиках.
2. Общая схема построения квазиклассических асимптотик для систем уравнений.
3. Осреднение в конструкциях квазиклассических асимптотик. 

 

 

Литература

Литература

1. В.П. Маслов, М.В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976.
2. М.В. Федорюк, Метод перевала, Наука, М., 1977.
3. В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики, Мир, М., 1981.
4. В.И. Арнольд, Математические методы классической механики, URSS, М., 2017.
5. С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, А.И. Шафаревич, “Новые интегральные представления канонического оператора Маслова в особых картах”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:2 (2017), 53–96.
6. С.Ю. Доброхотов, В.Е. Назайкинский, “Лагранжевы многообразия и эффективные формулы для коротковолновых асимптотик в окрестности точки возврата каустики”, Матем. заметки, 108:3 (2020),  334–359.
7. С.Ю. Доброхотов, Д.С. Миненков, В.Е. Назайкинский, “Представления функций Бесселя с помощью канонического оператора Маслова”, ТМФ, 208:2 (2021), 196–217.
8. S.Y. Dobrokhotov, V.E. Nazaikinskii, A.I. Shafarevich, Canonical Operator on Punctured Lagrangian Manifolds. Russ. J. Math. Phys. 28, 22–36 (2021).

 

 

Дополнительная информация

Отчетность по курсу: в течение семестра студентам будет предложено выполнить практическое задание по построению квазиклассической асимптотики решения конкретной задачи методом канонического оператора и его анализу и визуализации с помощью системы Wolfram Mathematica. Завершится курс экзаменом.