Математический анализ-4
Автор программы курса: Богачев Владимир Игоревич
Аннотация
Курс математического анализа является базовым курсом и призван в четвертом семестре познакомить слушателей с основами теории меры и интеграла Лебега. Эти знания необходимы для освоения современной теории вероятностей, теории случайных процессов, теории уравнений с частными производными, математической статистики и математической физики. В четвертом семестре изучаются общие меры, в том числе классическая мера Лебега, интеграл Лебега, основные теоремы о предельном переходе в интеграле Лебега. Устанавливается связь интегрирования и дифференцирования. Вводятся различные пространства интегрируемых функций. Дается введение в теорию рядов и интегралов Фурье. В результате освоения курса слушатели научатся обращаться с интегралом Лебега по классической мере Лебега и по абстрактным мерам и его использованию в анализе Фурье.
Необходимые базовые знания для прохождения курса.
Предполагается, что слушатели освоили курсы анализа первых трех семестров и владеют основами линейной алгебры.
План курса
Лекции 1 – 2. Алгебры и сигма-алгебры множеств. Определения и примеры алгебр и сигма-алгебр множеств. Сигма-алгебра, порожденная классом множеств. Структура открытых множеств на прямой. Борелевская сигма-алгебра.
Лекции 3 – 4. Аддитивные и счетно-аддитивные меры. Свойство счетной полуаддитивности. Критерий счетной аддитивности. Компактные классы множеств. Счетная аддитивность меры, имеющей приближающий компактный класс. Примеры.
Лекции 5 – 7. Внешняя мера Лебега и измеримость по Лебегу. Определение внешней меры Лебега. Определение измеримого множества. Теорема Лебега о счетной аддитивности внешней меры на сигма-алгебре измеримых множеств. Единственность продолжения. Построение классической меры Лебега на прямой и в многомерном пространстве. Основные свойства меры Лебега. Меры Лебега – Стилтьеса. Меры Хаусдорфа.
Лекции 8 – 9. Измеримые функции. Функции, измеримые относительно сигма-алгебры. Свойства измеримых функций. Сходимость почти всюду. Теорема Егорова. Сходимость по мере и ее связь со сходимостью почти всюду. Теорема Рисса. Теорема Лузина.
Лекции 10 – 12. Интеграл Лебега. Определение интеграла Лебега. Основные свойства интеграла (линейность, монотонность). Неравенство Чебышёва. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Предельный переход в интеграле Лебега: теорема Лебега – Беппо Леви о монотонной сходимости, теорема Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости. Непрерывность и дифференцируемость интеграла Лебега по параметру. Критерий интегрируемости по Лебегу. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и несобственным).
Лекции 13 – 14. Произведение мер. Произведение пространств с мерами. Теорема Фубини. Свертка интегрируемых функций.
Лекции 15 – 17. Связь интеграла и производной. Преобразования мер. Функции ограниченной вариации. Абсолютно непрерывные функции. Абсолютная непрерывность неопределенного интеграла. Связь абсолютно непрерывных функций с неопределенными интегралами интегрируемых функций. Формула Ньютона – Лейбница и формула интегрирования по частям для абсолютно непрерывных функций. Образ меры при отображении. Общая формула замены переменных и дифференцируемая замена переменных.
Лекции 18 – 19. Гильбертовы и банаховы пространства. Нормированные и евклидовы пространства. Банаховы и гильбертовы пространства. Ортонормированные системы и базисы. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Лекции 20 – 21. Пространства интегрируемых функций. Неравенства Гёльдера, Коши – Буняковского, Йенсена и Минковского. Пространства интегрируемых функций и их полнота. Связь различных видов сходимости измеримых функций. Теорема Радона – Никодима.
Лекции 22 – 24. Ряды Фурье и преобразование Фурье. Полнота системы тригонометрических функций. Тригонометрический ряд Фурье. Ядро Дирихле и ядро Фейера. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке. Коэффициенты Фурье гладких функций. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении тригонометрическими многочленами. Преобразование Фурье интегрируемых функций и его простейшие свойства. Формула обращения.
Литература
1. Богачев В.И., "Функциональный анализ." М.: ПСТГУ, 2011. – 396 c.
2. Богачев В.И., Смолянов О.Г., "Действительный и функциональный анализ: университетский курс." – 3-е изд., испр. и доп. – М. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2021. — 756 с.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., "Элементы теории функций и функционального анализа." Изд. 4-е. – М.: Наука, 1976. – 544 с.
4. Макаров Б.М., Подкорытов А.Н., "Лекции по вещественному анализу." СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 688 с.
5. Натансон И.П., "Теория функций вещественной переменной." Изд. 3-е. – М.: Наука, 1974. – 480 c.
6. Теляковский С.А., "Сборник задач по теории функций действительного переменного." – М.: Наука, 1980. – 112 с.
