Эффективные квазиклассические асимптотики

Авторы программы курса: Назайкинский Владимир Евгеньевич, Шафаревич Андрей Игоревич

Преподаватель: Назайкинский Владимир Евгеньевич

Аннотация

Созданный В. П. Масловым канонический оператор – один из наиболее мощных инструментов построения глобальных квазиклассических асимптотик для линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений. В рамках данного курса планируется познакомить студентов с богатой геометрией, лежащей в основе канонического оператора (лагранжевы многообразия в фазовом пространстве, фокальные точки, каустики, индекс Маслова и т.д.) и с его современной конструкцией, позволяющей не только проводить теоретические исследования, но и эффективно анализировать решения конкретных задач с использованием средств реализации и графической визуализации аналитических и численных расчетов, предоставляемыми системами технических вычислений, такими как Wolfram Mathematica и MATLAB.

Необходимые базовые знания для прохождения курса:

Предполагается, что слушатели побывали на первом и втором курсах мехмата и в результате прошли курсы математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также дифференциальной геометрии и топологии. Желательно знакомство с азами теории функций комплексного переменного.

Регистрация на курс.

План курса

Лекция 1 (вводная): Общие понятия. Что такое асимптотическое разложение? Регулярная теория возмущений.  Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром при производных и их примеры. Метод Эйлера для уравнений с постоянными коэффициентами. Понятие о сингулярной теории возмущений.

Одномерный случай

Лекция 2: Одномерное уравнение Шрёдингера: задача на собственные значения и ВКБ-анзац. Уравнение Гамильтона–Якоби и его решение. Уравнение переноса. Фокальные точки и недостаточность ВКБ-анзаца для построения глобального решения. Линия уровня функции Гамильтона как геометрический объект, лежащий в основе асимптотического решения.

Лекция 3: Быстроосциллирующие функции. Метод стационарной фазы. Преобразование Фурье и его основные свойства. Фронт осцилляций быстроосциллирующей функции. Пример: вычисление фронта осцилляций для ВКБ-анзаца. 

Лекции 4–5: Индекс Маслова и условия квантования. Глобальное асимптотическое решение задачи на собственные значения для одномерного уравнения Шрёдингера и его фронт осцилляций. Канонический оператор Маслова.  Случай разомкнутой линии уровня функции Гамильтона.

Многомерный случай

Лекции 6–7: Симплектические многообразия, гамильтоновы векторные поля, канонические преобразования. Стандартная симплектическая структура, теорема Дарбу. Лагранжевы многообразия.  Вполне интегрируемые системы, лиувиллевы торы, переменные действие–угол.

Лекция 8: Фокальные точки и каустики. Локальное задание лагранжевых многообразий с помощью невырожденных фазовых функций. Универсальная фазовая функция.

Лекция 9: Осциллирующие интегралы с невырожденной фазовой функцией и их фронты осцилляций. Осциллирующие интегралы, связанные с заданным лагранжевым многообразием, и их сравнение.

Лекция 10–11: Глобальная конструкция канонического оператора на лагранжевом многообразии с мерой. Индекс Маслова, условия квантования.  Явные формулы для канонического оператора.

Лекция 12: Псевдодифференциальные операторы. Коммутация псевдодифференциального оператора с каноническим оператором. Асимптотические решения задачи Коши и задачи на собственные значения.

Лекция 13: Асимптотические решения волнового уравнения и некоторых разностных уравнений. Асимптотические формулы для функций Бесселя и многочленов Лежандра.

Выражение канонического оператора через специальные функции

Лекции 14–15: Лагранжевы расслоения и лагранжевы эквивалентности. Приведение особенностей проектирования лагранжевых многообразий общего положения к нормальной форме. Соответствующее преобразование канонического оператора. Выражения для канонического оператора в окрестностях каустик типа складки и сборки и способы вычисления входящих в них замен переменных.

Лекция 16: Примеры: (а) каустики в волновом уравнении с переменной скоростью; (б) асимптотики интегралов типа Бесселя и асимптотические решения линеаризованной задачи о выходе волн цунами на берег.

Литература

Литература

1.  В. П. Маслов, М. В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976.
2.  М. В. Федорюк, Метод перевала, Наука, М., 1977.
3.  А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов, Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, Наука, М., 1978.
4.  В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики, Мир, М., 1981.
5.  Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956.
6.  В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, URSS, М., 2017.
7.  В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений. Том 1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов, Наука, М., 1982.
8.  В. И. Арнольд, “О характеристическом классе, входящем в условия квантования”, Функц. анализ и его прил., 1:1 (1967), 1–14. 
9.  С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, А. И. Шафаревич, “Новые интегральные представления канонического оператора Маслова в особых картах”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:2 (2017), 53–96.
10. С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, “Лагранжевы многообразия и эффективные формулы для коротковолновых асимптотик в окрестности точки возврата каустики”, Матем. заметки, 108:3 (2020),  334–359.
11. С.Ю. Доброхотов, Д. С. Миненков, В.Е. Назайкинский, “Представления функций Бесселя с помощью канонического оператора Маслова”, ТМФ, 208:2 (2021), 196–217.
12. S.Y. Dobrokhotov, V.E. Nazaikinskii, A.I. Shafarevich, Canonical Operator on Punctured Lagrangian Manifolds. Russ. J. Math. Phys. 28, 22–36 (2021).