Геометрические основы калибровочных теорий

Автор программы курса: Тюрин Николай Андреевич

Преподаватель: Тюрин Николай Андреевич

Аннотация

П.А.М. Дирак в предисловию к первому изданию книги «Принципы квантовой механики» определил понятие физической величины, наблюдаемой нами, как некоторый инвариант набора преобразований. Законы поведения в некоторой системе - это законы, которые перестановочны со всеми преобразованиями этой системы. Общая цель физики представляется тогда как нахождение уравнений, инвариантных относительно как можно больших групп преобразований.
В современной физике элементарных частиц фундаментальную роль играют так называемые калибровочные теории, где роль групп преобразований играют калибровочные группы, и именно в таких терминах формулируется Стандартная модель.
Любое уравнение, претендующее на «физичность», (как и любой лагранжиан теории) обязано быть калибровочно инвариантным, и множество физических работ выстраиваются по принципу: 1) напишем какой-нибудь экзотический лагранжиан, 2) проверим его калибровочную инвариантность.
Однако, нас прежде всего интересуют математические аспекты калибровочных теорий и поэтому мы ограничиваемся «доквантовым» уровнем, поскольку для выхода на квантовый необходим фейнмановский интеграл, что выводит за рамки математики: физический универсум - это некоторое многообразие, на котором имеются расслоения (главные или векторные) с локально компактными структурными группами (в Стандартной модели — U(1), SU(2) и SU(3)), главными действующими лицами являются поля двух типов, представляемые или сечениями расслоений, или связностями на расслоениях, и калибровочная группа есть прямое произведение групп послойных автоморфизмов расслоений. Уравнения (или лагранжиан), связывающие калибровочные поля, обязаны быть калибровочно инвариантными, поэтому решениями будут не отдельные поля, а классы эквивалентных по модулю калибровок полей. Отсюда возникает понятиемногообразия модулей классических решений, элементами которых будут классы калибровочно эквивалентных решений.

 

Целью нашего курса будет представление геометрических понятий, необходимых для математической части любой калибровочной теории. В качестве примера мы рассмотрим теорию антиавтодуальных связностей на четырехмерном многообразии. Именно такие связности представляют глобальные минимумы знаменитого функционала Янга — Миллса, введенного Робертом Миллсом и Фрэнком Янгом в качестве неабелева обобщения теории электромагнетизма Максвелла в переложении Паули. В подходе Янга — Миллса вместо калибровочной группы U(1), как в электромагнетизме, рассматривается произвольная группа Ли G в качестве структурной группы. Соответствующие функционалу Янга - Миллса уравнения Эйлера — Лагранжа часто называют уравнением инстантона; так как функционал Янга — Миллса обладает замечательным свойством — конформной инвариантностью, то локальные решения всегда существуют, кроме того имеются ставшие уже классическими описания многообразия модулей инстантонов на 4 — мерной сфере. Замечательным образом теория Янга — Миллса была использована в чисто математических приложениях, а именно С. Дональдсон использовал уравнение инстатона для построения новых полиномилаьных инвариантов гладких структур на 4 — многообразиях и с помощью этих инвариантов доказал важные новые результаты из дифференциальной топологии. Если время позволит, мы немного обсудим эти результаты.

Курс рекомендован для студентов 2 курса и старше.