Алгебра-3

Автор программы курса: Тимашёв Дмитрий Андреевич

Преподаватель: Прохоров Юрий Геннадьевич

Аннотация

Курс продолжает курс алгебры 1-го семестра. Цель курса – систематическое изучение основных структур современной алгебры (групп, колец, алгебр и модулей). Половина курса посвящена теории групп –  наиболее важных структур, востребованных как в алгебре, так и за её пределами. Вторая половина курса посвящена структурной теории колец, алгебр, полей и модулей. В частности, будет получена классификация конечных полей и рассмотрены основы теории Галуа, с помощью которой будет исследована разрешимость уравнений в радикалах.

Необходимые базовые знания для прохождения курса.

Необходимо владение материалом курса алгебры 1-го семестра, а также линейной алгебры и геометрии.

План курса

Лекции 1-3. Напоминание базовых сведений из теории групп (1 семестр). Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Гомоморфизмы групп, их ядра и образы. Основные теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах групп. Автоморфизмы групп. Автоморфизмы циклической группы. Внутренние автоморфизмы, центр группы.

Лекция 4. Прямое произведение (прямая сумма) групп — внутреннее и внешнее, их эквивалентность. Китайская теорема об остатках для аддитивных групп вычетов. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп и по сомножителям.

Лекция 5. Системы порождающих в группе. Порождающие групп Sn, An, GLn, SLn. Свободная группа, её универсальное свойство. Задание группы образующими и соотношениями.

Лекция 6.  Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Ранг свободной абелевой группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп. Дискретные подгруппы и решётки в евклидовом пространстве.

Лекция 7.  Структура конечно порождённых и конечных абелевых групп. Экспонента группы, критерий цикличности конечной абелевой группы в терминах экспоненты. Цикличность конечной подгруппы в мультипликативной группе поля.

Лекция 8.  Действия групп на множествах. Теорема Кэли. Орбиты и стабилизаторы. Группа вращений куба.

Лекция 9. Действие группы на себе сопряжениями. Классы сопряжённости и централизаторы. Классы сопряжённости и центр группы Sn. Формула классов в конечной группе. Нетривиальность центра конечной p-группы, группы порядка p2 (где p — простое число).

Лекция 10. Коммутаторы элементов и коммутант группы, его свойства. Коммутанты групп Sn, An, GLn, SLn. Кратные коммутанты, их свойства. Разрешимые группы, критерий разрешимости. При каких n группа Sn разрешима? Неразрешимость групп GL_n и SLn. Разрешимость группы треугольных матриц и конечных p-групп.

Лекция 11. Простые группы. Композиционный ряд группы, теорема Жордана–Гёльдера. Описание простых абелевых групп. Простота групп An при n≥5 и SO3.

Лекция 12. Силовские подгруппы, теоремы Силова. Группы порядка pq, где p и q — различные простые числа.

Лекции 13-14. Кольца и алгебры, их различные классы. Структурные константы. Групповая алгебра. Алгебра кватернионов. Тела и алгебры с делением. Алгебры Ли. Идеалы в кольцах и алгебрах. Факторкольца и факторалгебры. Гомоморфизмы колец и алгебр, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах. Простые кольца и алгебры. Критерий простоты коммутативного ассоциативного кольца с 1. Простота алгебры матриц над телом.

Лекция 15. Модули над кольцами и алгебрами. Подмодули, фактормодули, гомоморфизмы модулей. Прямые суммы и тензорные произведения колец, алгебр и модулей. Китайская теорема об остатках для колец, применение к функции Эйлера. Свободные и конечно порождённые модули. Лемма Накаямы.

Лекции 16-17. Нётеровы кольца, алгебры и модули. Теорема Гильберта о базисе идеала. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов. Структура конечно порождённых модулей над кольцами главных идеалов, применения к теории жордановой нормальной формы и к структуре конечно порождённых абелевых групп.

Лекция 18. Факторалгебры алгебры многочленов от одной переменной. Алгебраические и трансцендентные элементы в ассоциативной алгебре с 1. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Присоединение к полю корня неприводимого многочлена.

Лекция 19. Конечные и конечно порождённые расширения полей. Степень и базис трансцендентности расширения, теорема о башне. Алгебраическое замыкание поля в его расширении. Поле алгебраических чисел. Поле разложения многочлена.

Лекция 20. Простые поля, их структура. Простое подполе данного поля. Эндоморфизм Фробениуса. Конечные поля, их классификация. Вложения конечных полей.

Лекция 21-22. Автоморфизмы полей, группа Галуа. Нормальные и сепарабельные расширения полей, расширения Галуа. Основная теорема теории Галуа. Разрешимость алгебраических уравнений в радикалах.

Лекция 23. Конечномерные алгебры с делением. Теорема Фробениуса.

Литература

1. Винберг Э.Б. Курс алгебры, М., МЦНМО, 2017.

2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. III: Основные структуры, М., Физматлит, 2001.

3. Бахтурин Ю.А. Основные структуры современной алгебры. М., Наука, 1990.

4. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968. Сборник задач по алгебре (под ред. А.И. Кострикина), М., МЦНМО, 2015.