Геометрия и топология-3

Авторы программы курса: Шафаревич Андрей Игоревич, Шарыгин Георгий Игоревич

Преподаватель: Шафаревич Андрей Игоревич

Аннотация

Излагаются основы дифференциальной геометрии: теория кривых и поверхностей в евклидовом пространстве, понятие гладкого многообразия, дифференциальное исчисление тензоров, основные понятия римановой геометрии, тензор Римана, элементы вариационного исчисления.

План курса

Лекция 1. Кривые в евклидовом пространстве

• Кривые в арифметическом пространстве, их координатная запись, гладкие кривые, вектор скорости гладкой кривой, возможность гладкой параметризации угла, особые и регулярные точки гладкой кривой, регулярные кривые, замены параметра на гладких и регулярных кривых.

• Ломаная в евклидовом пространстве, длина ломаной, длина параметрической кривой в евклидовом пространстве, независимость длины от параметризации, спрямляемые кривые, обобщенное неравенство треугольника, натуральная и равномерная параметризация кривой.

• Интегральная формула длины гладкой кривой в евклидовом пространстве, задание натурального параметра с помощью интегральной формулы, критерий того, что параметр регулярной кривой – натуральный (равномерный), описание всех замен параметра, сохраняющих натуральность (равномерность).

• Три способа задания регулярных кривых в евклидовом пространстве, их локальная эквивалентность, примеры.

Лекция 2. Теория Френе кривых в евклидовом пространстве

• p-регулярные кривые, бирегулярные кривые, базис Френе для (n-1)-регулярной кривой в n-мерном евклидовом пространстве, формулы Френе и кривизны кривой в n-мерном евклидовом пространстве.

• Кривизны кривой в n-мерном евклидовом пространстве для произвольной параметризации, сохранение кривизн при аффинных преобразованиях, выражение кривизн через коэффициенты ортогонализации.

• Кривые на плоскости: кривизна и ориентированная кривизна, главная нормаль, ориентированные и неориентированные формулы Френе. 

• Кривые в трехмерном пространстве: главная нормаль и бинормаль, кривизна и кручение, формулы Френе. 

• Вывод стандартных формул кривизны и ориентированной кривизны плоских кривых, а также кривизны и кручения кривых в трехмерном пространстве из общих формул Френе.

• Восстановление кривой по кривизнам, натуральные уравнения.

Лекция 3. Геометрия плоских кривых

• Восстановление плоской кривой по ориентированной кривизне, классификация плоских кривых постоянной кривизны.

• Геометрия плоских кривых: радиус кривизны, ориентированный радиус кривизны, центр кривизны, эволюта или каустика, особенности эволюты, эвольвента, восстановление исходной кривой из ее эволюты.

• Порядок касания кривых, окружность кривизны или соприкасающаяся окружность, порядок касания кривой и окружности кривизны.

• Огибающая семейства плоских кривых, задание огибающей системой уравнений.

Лекция 4. Поверхности в евклидовом пространстве

• Непрерывная параметрическая поверхность, координатная запись отображения, гладкая, регулярная, вложенная параметрическая поверхность.

• Инвариантность области при регулярном отображении, замена координат в области, криволинейные координаты в области, координатные линии и координатные поверхности, примеры криволинейных координат (полярные, цилиндрические, сферические).

  Непараметрические поверхности, задание поверхности графиком отображения и неявным отображением, локальная эквивалентность трех представлений поверхности, примеры.

Лекция 5. Формализация поверхностей в терминах многообразий

• Формализация понятия поверхности: топологическое многообразие (с краем и без), карты и атласы, примеры, непрерывные отображения многообразий, координатная запись, гладкие многообразия, гладкие отображения гладких многообразий, погружения и вложения гладких многообразий (в координатах – условие на матрицы Якоби), диффеоморфизмы, поверхности как погружения гладких многообразий в евклидово пространство. 

• Гладкая кривая на поверхности, запись кривой во внешних и внутренних координатах (в координатах многообразия и в координатах объемлющего евклидова пространства), касательный вектор к поверхности (как вектор в евклидовом пространстве), его независимость от параметризации поверхности, внутренние координаты касательного вектора, зависимость внутренних координат касательного вектора от параметризации поверхности.

• Касательное пространство (как подпространство объемлющего пространства), его линейная структура и размерность, канонический базис касательного пространства, закон изменения внутренних координат касательного вектора при замене параметризации поверхности, касательное пространство к области, касательное пространство к поверхности как подпространство касательного пространства к объемлющему пространству.

• Дифференциал гладкого отображения поверхностей, его координатная запись, линейность дифференциала, изменение координатного представления дифференциала при замене параметризаций поверхностей.

  Дифференциал гладкой функции на поверхности как ковектор, дифференциалы координатных функций как двойственный базис кокасательного пространства, запись дифференциала функции - разложение по двойственному базису.

Лекция 6. Первая фундаментальная форма поверхности

• Первая фундаментальная форма поверхности или индуцированная на поверхности метрика, примеры вычисления, вычисления с помощью первой фундаментальной формы (длины кривых и углы между кривыми).

• Кусочно гладкие кривые и внутренняя метрика поверхности, изометричные отображения поверхностей (сохраняющие внутреннюю метрику), дифференциал гладкого изометричного отображения поверхностей.

• Тензорное умножение, билинейность тензорного умножения, тензорная запись билинейной формы, тензорная запись евклидовой метрики в n-мерном евклидовом пространстве и первой фундаментальной формы поверхности.

• Несимметричность тензорного произведения, определение операции симметричного тензорного произведения (на ковекторах), его билинейность, запись симметричной билинейной формы через симметричное тензорное произведение, запись евклидовой метрики и первой фундаментальной формы через симметричное тензорное произведение.

• Вычисление первой фундаментальной формы поверхности через тензорную запись: координатная запись ограничения ковектора и ее применение к вычислению первой фундаментальной формы, примеры, бесконечно малая длина дуги или элемент дуги (обоснование терминологии).

• Операции с гладкими функциями на поверхности, дифференцирование функций на поверхности вдоль кривой и касательного вектора, свойства операции дифференцирования.

• Операции над векторными полями вдоль поверхности, линейная комбинация и функциональная линейная комбинация векторных полей, скалярное произведение векторных полей, ограничение векторного поля на кривую, производная векторного поля воль кривой и вдоль касательного вектора, свойства производной векторного поля вдоль касательного вектора.

• Коммутатор векторных полей, коммутатор касательных векторных полей, свойства коммутатора.

• Нормальное пространство к поверхности в данной точке, нормальные и касательные поля вдоль поверхности, ковариантные производные касательного и нормального векторных полей, ковариантная производная функции.

• Свойства ковариантной производной, доказательство правила Лейбница для ковариантной производной от скалярного произведения касательных (нормальных) полей.

• Локальные векторные поля, продолжение касательного вектора до касательного векторного поля, продолжение нормального вектора до нормального локального векторного поля.

• Выражение ковариантной производной касательных полей через первую фундаментальную форму, символы Кристоффеля, симметричность символов Кристоффеля по нижним индексам, пример вычисления символов Кристоффеля.

• Векторные поля вдоль кривых, ковариантные производные полей вдоль кривых, запись ковариантной производной векторного поля вдоль кривой через символы Кристоффеля.

Лекция 7. Параллельный перенос вдоль кривых на поверхности

• Параллельные векторные поля, параллельный перенос, уравнения параллельного переноса, теорема существования и единственности параллельного переноса данного вектора вдоль данной кривой, пример вычисления параллельного переноса. 

• Сохранение скалярного произведения при параллельном переносе, изометричность параллельного переноса, евклидовы координаты и евклидова метрика, параллельный перенос в евклидовых координатах, примеры цилиндра и конуса. 

• Касающиеся поверхности, параллельный перенос вдоль кривой касания поверхностей, вычисление параллельного переноса вдоль параллелей на стандартной двумерной сфере.

Лекция 8. Геодезические на поверхности 

• Определение геодезических, уравнение геодезических, постоянство длины вектора скорости, существование и однозначная определенность геодезической, выходящей из данной точки с данным вектором скорости, сохранение геодезических при аффинных заменах параметра.

• Существование и однозначная определенность геодезической, выходящей из данной точки в данном направлении, сохранение геодезических при изометрии, сохранение угла между вектором скорости геодезической и вектором параллельного поля.

• Операции над поверхностями, переход к подобласти, произведение поверхностей, касательное расслоение, касательный вектор касательного расслоения.

• Теорема о зависимости решения обыкновенного дифференциального уравнения от начального условия, ее применение к случаю отображения касательного расслоения поверхности на саму поверхность, заданного с помощью геодезических, экспоненциальное отображение.

• Локальная диффеоморфность экспоненциального отображения, нормальные окрестности, радиальные геодезические.

• "Конструкция'' однопараметрического семейства радиальных геодезических и ее свойства, лемма Гаусса о перпендикулярности геодезической соответствующей геодезической сфере.

• Лемма об оценке длины кривой, лежащей в нормальной окрестности, следствие про радиальную геодезическую.

• Эпсилон-вполне нормальные окрестности, теорема существования таких окрестностей, существование и единственность кратчайших геодезических в эпсилон-вполне нормальной окрестности, определение выпуклой окрестности.

• Теоремы Хопфа--Ринова

Лекция 9. Вторая фундаментальная форма поверхности 

• Вторая фундаментальная форма, ее симметричность, вторая фундаментальная форма относительно нормального вектора.

• Оператор Вейнгартена, связь оператора Вейнгартена со второй фундаментальной формой, формулы Гаусса и Вейнгартена, вычисление в координатах второй фундаментальной формы и оператора Вейнгартена.

• Пример: вторая фундаментальная форма и оператор Вейнгартена для гиперповерхности, заданной графиком функции.

• Теорема о приведении пары квадратичных форм к каноническому виду, главные направления и главные кривизны для второй фундаментальной формы относительно нормального вектора, пример вычисления.

• Сечение поверхности аффинными подпространствами, нормальные сечения, обоснование перехода к гиперповерхностям.

• Одномерные сечения гиперповерхностей, направление сечения, нормаль к сечению, оснащенное сечение, угол наклона сечения, касающиеся сечения, ориентированная кривизна сечения и ориентированная кривизна касающегося нормального сечения, теорема Менье.

• Теорема об отношении пары форм, формула Эйлера, главные направления, главные кривизны, инварианты пары форм, средняя и гауссовы кривизны гиперповерхности. 

• Вычисление собственных чисел симметричного оператора через минимакс, экстремальность наименьшего и наибольшего собственных чисел, применение предыдущего результата для определения без вычислений главных направлений двумерной поверхности вращения, пример такого вычисления главных направления и главных кривизн для двумерной поверхности вращения в трехмерном пространстве. 

• Минимальные поверхности, катеноид как пример минимальной поверхности, уравнение Лагранжа двумерной минимальной поверхности, заданной графиком функции.

• Средняя кривизна поверхности произвольной коразмерности, вектор средней кривизны и функция средней кривизны, минимальные поверхности и поверхности постоянной средней кривизны произвольной коразмерности, тор Клиффорда как пример поверхности постоянной кривизны.

Лекция 10. Уравнения Гаусса и Петерсона-Майнарди-Кодацци

• Уравнения Гаусса и уравнения Петерсона-Майнарди-Кодацци для гиперповерхностей.

• Тензор Римана и его свойства, существенные компоненты тензора Римана, количество существенных компонент тензора Римана для двумерных поверхностей в трехмерном пространстве, уравнения Гаусса.

• Симметрии уравнений Петерсона-Майнарди-Кодацци, существенные уравнения Петерсона-Майнарди-Кодацци для двумерных поверхностей в трехмерном пространстве, блистательная теорема Гаусса, формулировка теоремы Бонне.

• Теорема Гаусса-Бонне для двумерных поверхностей. 

Лекция 11. Элементы теории гладких многообразий

• Три определения касательного вектора, касательное пространство, канонический базис по отношению к данным координатам, дифференциал гладкого отображения, регулярные и особые точки, погружения, вложения и субмерсии, вложение гладких многообразий в арифметическое пространство.

• Ориентируемые и неориентируемые многообразия, примеры. 

• Тензорные поля на гладком многообразии, операции над тензорными полями. 

• Риманова метрика на гладком многообразии, существование римановой метрики, изометрии. 

• Аффинная связность на гладком многообразии, ковариантное дифференцирование и его свойства. 

• Риманова связность или связность Леви-Чивиты, теорема существования и единственности римановой связности.  

• Функционал действия. Уравнения Эйлера-Лагранжа. Геодезические как экстремали функционала действия. 

• Полилинейные отображения векторных полей и тензорные поля. Тензор кривизны Римана и тензор кручения. Свойства тензора Римана.

• Критерий локальной евклидовости индуцированной метрики на римановом многообразии.

Литература

1. Lee J.M. "Introduction to smooth manifolds." - 2nd revised ed, 2012.
2. Мищенко А.С., Фоменко А.Т., "Курс дифференциальной геометрии и топологии." Изд. 4, перераб. и доп. URSS. 2020. 504 с.

3. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., "Современная геометрия.", Наука, М., 1984.

4. Тайманов И. А., "Лекции по дифференциальной геометрии." — Ижевск, 2002. - 176 стр.

5. Постников М. М., "Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия.", М.: Наука. 1987. - 480 с.

6. Стернберг С., "Лекции по дифференциальной геометрии.". Пер. с анг. 1970. 412 с.