Алгебраическая геометрия

Авторы программы курса: Пржиялковский Виктор Владимирович, Шрамов Константин Александрович

Преподаватель: Пржиялковский Виктор Владимирович

План курса

Лекция 1 - Аффинная и проективная плоскости. Классификация коник.

Лекция 2 - Плоские кривые. Теорема Безу. Линейные системы коник. 

Лекция 3 - Плоские кубики. Нерациональные кубики. Вейерштрассова нормальная форма. Групповой закон на кубике. 

Лекция 4 - Кривые и их род. Топология неособых плоских комплексных кубик. Неформальное обсуждение рода кривой: топология, дифференциальная геометрия, модули, теория чисел, теорема Морделла-Вейля. 

Лекция 5 - Аффинные многообразия. Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе. 

Лекция 6 - Топология Зарисского и ее свойства. Неприводимость. Гиперповерхности.

Лекция 7 - Координатное кольцо многообразия. Морфизмы и изоморфизмы, аффинные многообразия. Поле рациональных функций и рациональные отображения. 

Лекция 8 - Проективная и бирациональная геометрии. Примеры проективных многообразий.
Отличие от аффинных.

Лекция 9 - Морфизмы проективных многообразий. Отображение Веронезе. Бирациональная эквивалентность, рациональные многообразия. 

Лекция 10 - Касательное пространство: различные определения, алгебра и геометрия. Гладкость и особенности. 

Лекция 11 - Размерность многообразий. Полные и локально полные пересечения. 

Лекция 12 - Раздутия многообразий. Примеры. Разрешение особенностей многообразий.

Лекция 13 - Проекции многообразий. Нормальность и линейная нормальность. 

Лекция 14 - 27 прямых на кубической поверхности - 1. Прямые на неособой кубической поверхности. Доказательство существования прямой методом исключения. 

Лекция 15 - 27 прямых на кубической поверхности - 2. Пять пар прямых, пересекающих данную прямую. Рациональность неособой кубической поверхности. Классическая конфигурация из 27 прямых. 

Лекция 16 - Грассманнианы. Плюккерово вложение. 

Литература

1. М. Рид. Алгебраическая геометрия для всех. 1991.
2. Дж. Харрис. Алгебраическая геометрия. Начаальный курс. МЦНМО, 2005.
3. И.Р. Шафаревич. Основы алгебраической геометрии. МЦНМО, 2007.