Комплексный анализ

Автор программы курса: Федоровский Константин Юрьевич

Преподаватель: Федоровский Константин Юрьевич

Аннотация

Теория функций комплексного переменного, замечательная и сама по себе, сильна своими многочисленными и эффективными приложениями в физике, механике, технике и инженерном деле.  Эта теория во многом и развивалась под воздействием приложений, что ясно видно уже из работ Л. Эйлера,  одного из основателей данной математической дисциплины.  Именно сильно развитое конструктивное начало включает эту науку в арсенал любого исследователя, работающего на стыке математики, физики и технологий.

 

План курса

Лекция 1. Арифметика комплексных чисел, функции комплексного переменного, комплексная производная, символы Виртингера, условия Коши-Римана, голоморфные функции, примеры, гидродинамическая интерпретация.

Лекция 2. Интегрирование функций. Формулы Коши и Коши-Помпейю и их следствия. Теоремы Мореры, Лиувилля. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Лекция 3. Голоморфные функции их свойства. Ряд Тейлора, радиус сходимости. Мероморфные функции. Ряд Лорана. Классификация изолированных особенностей. Принцип аргумента, теорема Руше.

Лекция 4. Аналитические продолжения. Многозначные функции. Точки ветвления. Ряд Пьюизо.

Лекция 5. Конформные отображения. Принцип симметрии. Интеграл Кристоффеля-Шварца. Уравнение и производная Шварца. Фуксовы уравнения и акцессорные параметры.

Лекция 6. Краевые задачи теории аналитических функций. Сингулярные интегралы. Метод Винера-Хопфа и другие приложения в математической физике.

Лекция 7. Элементы теории квазиконформных отображений. Уравнение Бельтрами. Теорема о существовании гомеоморфного решения. Формула Альфорса для инфинитезимальной деформации.

Лекция 8. Элементы теории эллиптических функций. Общие свойства. Функции Вейерштрасса, тэта функции, функции Якоби. Приложения.

Лекция 9. Модулярная теория эллиптических функций. Йот-инвариант.

Лекция 10. Группы мебиусовых преобразований (фуксовы, Шоттки, клейновы). Метрика Пуанкаре, ряды Пуанкаре. Квазиконформные деформации групп. Факультативно: Задачи Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса на плоскости.

Литература

1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В.,"Методы теории функций комплексного переменного." Издание третье, исправленное. М. Наука 1984.

2. Шабат, Б.В., "Введение в комплексный анализ ч.1."

3. Гурвиц, А., Курант Р, "Теория функций."

4.. M.J. Ablowits, A.S. Fokas, "Complex Variables.Introduction and Applications."

4. Гахов, Ф.Д., "Краевые задачи."

5. Альфорс, Л., "Лекции по квазиконформным отображениям."

6. Ахиезер, Н.И., "Элементы теории эллиптических функций."

7. Д.Мамфорд, Д.Райт, К.Сирис, "Ожерелье Индиры. Видение Феликса Клейна."

8. Elias Wegert, "Visual complex functions."

 

Дополнительная информация

В течение семестра проводятся две контрольные работы по изучаемым темам.