Введение в симметрические пространства

Автор программы курса: Жгун Владимир Сергеевич

Аннотация

Симметрические пространства были открыты Картаном в 1925-1926 годах и за короткое время c 1926 г. по 1930 г. Картан построил глубокую теорию этих пространств,

тесно переплетающуюся с теорией полупростых групп Ли. В дальнейшем был построен гармонический анализ на этих пространствах, найден их алгебраический аналог, на котором был построен

аналог разложения Шуберта. С тех пор и до настоящего времени они прочно заняли свое место в современной дифференциальной и алгебраической геометрии. В этом курсе мы рассмотрим основные свойства симметрических пространств в основном дифференциально геометрические, их геометрию и вопрос классификации (очень близкие к классификации вещественных полупростых алгебр и групп Ли).

Расписание: вторник 18:30, ГЗ МГУ 14-15, первое занятие - 14 февраля 2023

Регистрация на курс.

План курса

Симметрические пространства как римановы многообразия и как однородные пространства групп Ли.
Напоминание элементов дифференциальной геометрии: связность, кривизна, кручение связности, метрические связности.
Поля Якоби, вариации геодезических.
Связность, кривизна и кручение на однородных пространствах. Тензор кривизны симметрического пространства.
Геодезические и параллельные переносы в симметрическом пространстве.
Свойства пространств положительной и отрицательной кривизны.
Свойства геодезического отображения в симметрических пространствах неположительной и неотрицательной кривизны.
Теорема о неподвижной точки для действия компактной группы на римановом пространстве отрицательной кривизны.
Полупростые симметрические пространства неположительной и неотрицательной кривизны, двойственность между ними.
Эрмитовы симметрические пространства.
Ранг симметрического пространства.
Разложения Картана и Ивасавы полупростой вещественной группы Ли.
*Гармонический анализ на симметрических пространствах.
* Компактификация Сатаке. Многообразия углов. Билдинги.

Литература

Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. — ИЛ, 1949.
Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — Мир, 1964.
Лоос О. Симметрические пространства. — Наука, 1985.
Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам 1988. 344 с