Теория индекса и операторы Дирака

Автор программы курса: Савин Антон Юрьевич

Аннотация

Гельфанд заметил, что индекс эллиптического оператора является топологическим инвариантом и поставил задачу о его вычислении в топологических терминах. Атья и Зингер решили эту задачу и получили формулу индекса произвольного эллиптического оператора на гладком замкнутом многообразии без края.

В дальнейшем эта теория нашла многочисленные приложения и обобщения. При этом оказалось, что наиболее важные результаты относятся к индексу одного конкретного класса операторов – операторов Дирака. При этом, индекс операторов Дирака может быть вычислен явно, пользуясь простым и изящным аналитическим методом (Гетцлер), не использующим никаких топологических средств.

Предлагаемый курс лекций посвящен изучению операторов Дирака, их индексов и некоторым приложениям к дифференциально-геометрическим вопросам. В курсе вводится алгебраический, геометрический и аналитический аппарат, используемый для определения операторов Дирака и получения их свойств. Затем формулируется локальная теорема об индексе для операторов Дирака, приводится её доказательство, пользуясь подходом Гетцлера. Указывается связь локальной теоремы об индексе с теоремой Атьи и Зингера.

План курса

Алгебры Клиффорда. Периодичность.

Спинорные представления, спинорная группа.

Приложения алгебр Клиффорда

Спинорные структуры на многообразиях. Связности на спинорных расслоениях.

Оператор Дирака на римановом многообразии. Симметричность. Формула Вейценбёка. Теоремы об исчезновении.

Скрученные операторы Дирака. Геометрические операторы (операторы Эйлера, сигнатуры, Дольбо) являются скрученными операторами Дирака

Дифференциальные операторы. Эллиптические операторы. Пространства Соболева. Фредгольмовость. Индекс. Проблема индекса (Гельфанд).

Индекс эллиптического оператора как суперслед. Метод уравнения теплопроводности (Мак Кин и Зингер)

Локальная теорема об индексе для оператора Дирака. Доказательство Гетцлера.

Индексы геометрических операторов и характеристические классы.

Индекс общих эллиптических операторов (формула Атьи-Зингера).

Индексы G-операторов и неподвижные точки

Литература

Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne. Heat Kernels and Dirac Operators. Berlin. Springer. 1991
Лоусон Г.Б. Михельсон М.-Л. Спинорная геометрия. М. МЦНМО. 2025
Roe J. Elliptic operators, topology and asymptotic methods. Boca Raton. Chapman & Hall/CRC. 1988
Федосов Б.В. Теоремы об индексе. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 65, ВИНИТИ, М., 1991, 165–268
Соловьев Ю.П., Троицкий Е.В. С*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. 1996. 352 с.
Савин А.Ю. Стернин Б.Ю. Оператор Дирака. Курс в НМУ. 2004. https://old.mccme.ru/ium/f04/dirac.html

Дополнительная информация

Курс проходит по четвергам в 18:25-19:55
Первое занятие - 11 сентября 2025.

Аудитория 436 (2 корпус).

Запись на курс по ссылке.